Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика356. Докажите тождество: 1) sin φ / (1 + cos φ) = (1 - cos φ) / sin φ 2) (sin α - cos α) / (sin α + cos α) = tg α - 1 / tg α + 1 3) sin⁴ β + sin² β cos² β + cos² β = 1 4) sin² α + sin² α cos² α + cos⁴ α = 1 5) cos² α + cos² α ctg² α = ctg² α 6) sin² α + sin² α tg² α = tg² α 7) 1 + sin x + cos x + tg x = (1 + cos x)(1 + tg x) 8) 1 + cos β - sin β - tg β = (1 + cos β)(1 - tg β)
Ответ:
Привет! Давай разберемся с этими тождествами. Это отличный способ прокачать знания тригонометрии. Я помогу тебе понять, как доказать каждое из них.
- Доказательство тождества 1:
Начнем с левой части:
\[ \frac{\sin \varphi}{1 + \cos \varphi} \]
Умножим числитель и знаменатель на (1 - cos φ):
\[ \frac{\sin \varphi (1 - \cos \varphi)}{(1 + \cos \varphi)(1 - \cos \varphi)} = \frac{\sin \varphi (1 - \cos \varphi)}{1 - \cos^2 \varphi} \]
Вспомним основное тригонометрическое тождество: sin² φ + cos² φ = 1. Отсюда 1 - cos² φ = sin² φ.
\[ \frac{\sin \varphi (1 - \cos \varphi)}{\sin^2 \varphi} \]
Сократим sin φ:
\[ \frac{1 - \cos \varphi}{\sin \varphi} \]
Это правая часть тождества. Тождество доказано!
- Доказательство тождества 2:
Перепишем тождество, чтобы было удобнее:
\[ \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} = \frac{\text{tg } \alpha - 1}{\text{tg } \alpha + 1} \]
Разделим числитель и знаменатель левой части на cos α (предполагая, что cos α ≠ 0):
\[ \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{\text{tg } \alpha - 1}{\text{tg } \alpha + 1} \]
Это равно правой части тождества. Тождество доказано!
- Доказательство тождества 3:
Нам нужно доказать, что sin⁴ β + sin² β cos² β + cos² β = 1.
Давай попробуем упростить левую часть. Вынесем sin² β из первых двух слагаемых:
\[ \sin^2 \beta (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) + \cos^2 \beta \]
В скобках у нас основное тригонометрическое тождество: sin² β + cos² β = 1.
\[ \sin^2 \beta \cdot 1 + \cos^2 \beta = \sin^2 \beta + \cos^2 \beta \]
И снова основное тригонометрическое тождество дает нам 1.
\[ = 1 \]
Тождество доказано!
- Доказательство тождества 4:
Нам нужно доказать: sin² α + sin² α cos² α + cos⁴ α = 1.
Заметим, что sin² α = 1 - cos² α.
\[ (1 - \cos^2 \alpha) + (1 - \cos^2 \alpha) \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha \]
Раскроем скобки:
\[ 1 - \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha - \cos^4 \alpha + \cos^4 \alpha \]
Сгруппируем и сократим:
\[ 1 + (-\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (-\cos^4 \alpha + \cos^4 \alpha) \]
\[ = 1 \]
Тождество доказано!
- Доказательство тождества 5:
Нам нужно доказать: cos² α + cos² α ctg² α = ctg² α.
Вынесем cos² α из первых двух слагаемых:
\[ \cos^2 \alpha (1 + \text{ctg}^2 \alpha) \]
Вспомним основное тригонометрическое тождество: 1 + ctg² α = 1 / sin² α.
\[ \cos^2 \alpha \cdot \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \]
А это равно ctg² α.
\[ = \text{ctg}^2 \alpha \]
Тождество доказано!
- Доказательство тождества 6:
Нам нужно доказать: sin² α + sin² α tg² α = tg² α.
Вынесем sin² α из первых двух слагаемых:
\[ \sin^2 \alpha (1 + \text{tg}^2 \alpha) \]
Вспомним основное тригонометрическое тождество: 1 + tg² α = 1 / cos² α.
\[ \sin^2 \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \]
А это равно tg² α.
\[ = \text{tg}^2 \alpha \]
Тождество доказано!
- Доказательство тождества 7:
Нам нужно доказать: 1 + sin x + cos x + tg x = (1 + cos x)(1 + tg x).
Раскроем скобки в правой части:
\[ (1 + \cos x)(1 + \text{tg } x) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot \text{tg } x + \cos x \cdot 1 + \cos x \cdot \text{tg } x \]
\[ = 1 + \text{tg } x + \cos x + \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} \]
Сократим cos x:
\[ = 1 + \text{tg } x + \cos x + \sin x \]
Это равно левой части тождества. Тождество доказано!
- Доказательство тождества 8:
Нам нужно доказать: 1 + cos β - sin β - tg β = (1 + cos β)(1 - tg β).
Раскроем скобки в правой части:
\[ (1 + \cos \beta)(1 - \text{tg } \beta) = 1 \cdot 1 - 1 \cdot \text{tg } \beta + \cos \beta \cdot 1 - \cos \beta \cdot \text{tg } \beta \]
\[ = 1 - \text{tg } \beta + \cos \beta - \cos \beta \cdot \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \]
Сократим cos β:
\[ = 1 - \text{tg } \beta + \cos \beta - \sin \beta \]
Это равно левой части тождества. Тождество доказано!
Надеюсь, теперь тебе стало понятнее! Если есть вопросы, спрашивай!
