36.1. Построив график функции f, выясните, имеет ли функция предел в точке x₀: 1) f(x) = 2x - 1, x₀ = -1; 2) f(x) = x² - 4 / x - 2, x₀ = 2; 3) f(x) = 1 / x, x₀ = -2; 4) f(x) = 1 / x, x₀ = 0; 5) f(x) = k, где k — некоторое число, x₀ = 3; 6) f(x) = |x - 2| / 2 - x, x₀ = 2.

Решение:

Для того чтобы выяснить, имеет ли функция предел в точке x₀, нужно исследовать поведение функции при приближении к этой точке. Если пределы слева и справа существуют и равны, то предел существует.

1) f(x) = 2x - 1, x₀ = -1

• Предел слева:
  \[ \lim_{x \to -1^{-}} (2x - 1) = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3 \]
• Предел справа:
  \[ \lim_{x \to -1^{+}} (2x - 1) = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3 \]
• Вывод: Пределы слева и справа равны (-3), следовательно, предел существует и равен -3.

2) f(x) = x² - 4 / x - 2, x₀ = 2

• Упрощение функции:
  \[ f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2 \] (при x ≠ 2)
• Предел слева:
  \[ \lim_{x \to 2^{-}} (x + 2) = 2 + 2 = 4 \]
• Предел справа:
  \[ \lim_{x \to 2^{+}} (x + 2) = 2 + 2 = 4 \]
• Вывод: Пределы слева и справа равны (4), следовательно, предел существует и равен 4.

3) f(x) = 1 / x, x₀ = -2

• Предел слева:
  \[ \lim_{x \to -2^{-}} \frac{1}{x} = \frac{1}{-2} = -0.5 \]
• Предел справа:
  \[ \lim_{x \to -2^{+}} \frac{1}{x} = \frac{1}{-2} = -0.5 \]
• Вывод: Пределы слева и справа равны (-0.5), следовательно, предел существует и равен -0.5.

4) f(x) = 1 / x, x₀ = 0

• Предел слева:
  \[ \lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x} = -\infty \]
• Предел справа:
  \[ \lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = +\infty \]
• Вывод: Пределы слева и справа не существуют (бесконечности разного знака), следовательно, предел не существует.

5) f(x) = k, где k — некоторое число, x₀ = 3

• Предел: Константа всегда равна самой себе.
• 
  \[ \lim_{x \to 3} k = k \]
• Вывод: Предел существует и равен k.

6) f(x) = |x - 2| / 2 - x, x₀ = 2

• Предел слева:
  \[ \lim_{x \to 2^{-}} \frac{|x - 2|}{2 - x} = \lim_{x \to 2^{-}} \frac{-(x - 2)}{2 - x} = \lim_{x \to 2^{-}} \frac{-(x - 2)}{-(x - 2)} = \lim_{x \to 2^{-}} 1 = 1 \]
• Предел справа:
  \[ \lim_{x \to 2^{+}} \frac{|x - 2|}{2 - x} = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{x - 2}{2 - x} = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{x - 2}{-(x - 2)} = \lim_{x \to 2^{+}} (-1) = -1 \]
• Вывод: Пределы слева (1) и справа (-1) не равны, следовательно, предел не существует.

Итоговый ответ:

• 1) Предел существует, равен -3.
• 2) Предел существует, равен 4.
• 3) Предел существует, равен -0.5.
• 4) Предел не существует.
• 5) Предел существует, равен k.
• 6) Предел не существует.