36. а) Найдите пары натуральных чисел (x; y), которые удовлетворяют уравнению 5x + 3y = 75. б) Найдите пары натуральных чисел (x; y), которые удовлетворяют уравнению 5x − 3y = 75 и условию x + y < 50.

Считаем натуральными положительные целые числа.

а) Из равенства \(5x+3y=75\) по модулю 3 получаем, что \(2x\) делится на 3, значит, \(x\) делится на 3. Положим \(x=3k\). Тогда \(15k+3y=75\), откуда \(y=25-5k\). Для положительных натуральных \(x\) и \(y\) подходят \(k=1,2,3,4\).

Получаем пары: \((3;20), (6;15), (9;10), (12;5)\).

б) Из \(5x-3y=75\) по модулю 3 снова следует, что \(x\) делится на 3. Положим \(x=3k\). Тогда \(15k-3y=75\), то есть \(y=5k-25\). Условие \(y>0\) требует \(k\geq 6\). Кроме того, \(x+y=3k+5k-25=8k-25<50\), поэтому \(k<9.375\). Значит, подходят \(k=6,7,8\).

Получаем пары: \((18;5), (21;10), (24;15)\).

Ответ: а) \((3;20), (6;15), (9;10), (12;5)\); б) \((18;5), (21;10), (24;15)\).