36. На координатной плоскости изображены векторы а и Б. Найдите cosa, где а – угол между векторами а и Б.

Решение:

Для нахождения косинуса угла между векторами воспользуемся формулой: \( \cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \).

1. Определим координаты векторов по рисунку:
   • Вектор \( \vec{a} \) имеет начало в точке \( (1, 0) \) и конец в точке \( (4, 3) \). Его координаты: \( \vec{a} = (4-1, 3-0) = (3, 3) \).
   • Вектор \( \vec{b} \) имеет начало в точке \( (3, 1) \) и конец в точке \( (5, 2) \). Его координаты: \( \vec{b} = (5-3, 2-1) = (2, 1) \).
2. Вычислим скалярное произведение векторов \( \vec{a} \cdot \vec{b} \):
   \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 6 + 3 = 9 \)
3. Найдем длины векторов:
   • Длина вектора \( \vec{a} \): \( |\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)
   • Длина вектора \( \vec{b} \): \( |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \)
4. Подставим найденные значения в формулу косинуса угла: \( \cos \alpha = \frac{9}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{9}{3\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \)
5. Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{10} \), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:
   \( \cos \alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10} \)

Ответ: \( \cos \alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10} \).