36. Отметьте в координатной плоскости точки М(6; 6), N(-2; 2); К(4; 1) и P(-2; 4). Проведите прямые MN и КР. Найдите координаты точки пересечения:

Решение:

Для начала найдём уравнения прямых MN и KP.

1. Уравнение прямой MN

Точки M(6; 6) и N(-2; 2).

Найдём угловой коэффициент \( k_{MN} \):

\[ k_{MN} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 6}{-2 - 6} = \frac{-4}{-8} = \frac{1}{2} \]

Уравнение прямой имеет вид \( y - y_1 = k(x - x_1) \). Возьмём точку N(-2; 2):

\[ y - 2 = \frac{1}{2}(x - (-2)) \]

\[ y - 2 = \frac{1}{2}(x + 2) \]

\[ y - 2 = \frac{1}{2}x + 1 \]

\[ y = \frac{1}{2}x + 3 \]

2. Уравнение прямой KP

Точки K(4; 1) и P(-2; 4).

Найдём угловой коэффициент \( k_{KP} \):

\[ k_{KP} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - 1}{-2 - 4} = \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2} \]

Уравнение прямой имеет вид \( y - y_1 = k(x - x_1) \). Возьмём точку K(4; 1):

\[ y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 4) \]

\[ y - 1 = -\frac{1}{2}x + 2 \]

\[ y = -\frac{1}{2}x + 3 \]

а) Нахождение точки пересечения прямых MN и KP

Приравняем уравнения прямых:

\[ \frac{1}{2}x + 3 = -\frac{1}{2}x + 3 \]

\[ \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x = 3 - 3 \]

\[ x = 0 \]

Подставим \( x = 0 \) в любое из уравнений, например, в \( y = \frac{1}{2}x + 3 \):

\[ y = \frac{1}{2}(0) + 3 \]

\[ y = 3 \]

Точка пересечения прямых MN и KP имеет координаты (0; 3).

б) Нахождение точки пересечения прямой KP с осью ординат

Ось ординат — это ось \( y \), где \( x = 0 \). Подставим \( x = 0 \) в уравнение прямой KP: \( y = -\frac{1}{2}x + 3 \).

\[ y = -\frac{1}{2}(0) + 3 \]

\[ y = 3 \]

Точка пересечения прямой KP с осью ординат имеет координаты (0; 3).

в) Нахождение точки пересечения прямой MN с осью абсцисс

Ось абсцисс — это ось \( x \), где \( y = 0 \). Подставим \( y = 0 \) в уравнение прямой MN: \( y = \frac{1}{2}x + 3 \).

\[ 0 = \frac{1}{2}x + 3 \]

\[ -3 = \frac{1}{2}x \]

\[ x = -6 \]

Точка пересечения прямой MN с осью абсцисс имеет координаты (-6; 0).

Ответ: а) (0; 3); б) (0; 3); в) (-6; 0).