№ 36. Постройте графики функций и перечислите их свойства. Вариант 1: а) \(y=2-3x\); б) \(y=-x^2+2x\), \(x\in[-1;3]\).

а) \(y=2-3x\). Это линейная функция с коэффициентом наклона \(-3<0\), поэтому она убывает на всей области определения. Нуль функции: \(2-3x=0\), откуда \(x=\frac{2}{3}\). При \(x<\frac{2}{3}\) функция положительна, при \(x>\frac{2}{3}\) отрицательна. Область определения и область значений — все действительные числа.

б) \(y=-x^2+2x\), \(x\in[-1;3]\). Преобразуем: \(y=-(x-1)^2+1\). Это парабола с ветвями вниз; вершина — \((1;1)\), ось симметрии — \(x=1\). Нули: \(-x(x-2)=0\), то есть \(x=0\) и \(x=2\). Функция возрастает на \([-1;1]\), убывает на \([1;3]\); наибольшее значение равно 1, наименьшее — −3 (при \(x=-1\) и \(x=3\)). Область значений: \([-3;1]\). Она положительна при \(0<x<2\) и отрицательна при \(x\in[-1;0)\cup(2;3]\).