36. Представьте дробь \( \frac{11}{15} \) в виде суммы трёх дробей, числитель каждой из которых равен 1.

Решение:

Нам нужно представить дробь \( \frac{11}{15} \) в виде \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \), где \( x, y, z \) — некоторые числа.

Сначала попробуем выделить из \( 11 \) как можно больше единиц, чтобы получить числители равные 1. Для этого можно использовать разложение числителя на слагаемые. Например, \( 11 = 1 + 1 + 9 \). Тогда мы можем записать:

\( \frac{11}{15} = \frac{1}{15} + \frac{1}{15} + \frac{9}{15} \)

Первые два слагаемых уже имеют числитель 1. Третью дробь \( \frac{9}{15} \) можно сократить до \( \frac{3}{5} \). Нам нужно, чтобы числитель был равен 1. Пока это не выполнено.

Попробуем другой подход. Разложим числитель \( 11 \) на три слагаемых, чтобы они были простыми, например \( 11 = 3 + 4 + 4 \) или \( 11 = 2 + 3 + 6 \). Не факт, что это приведет к дробям с числителем 1.

Более простой метод — использовать теорему о египетских дробях. Можно представить \( \frac{1}{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} \). Попробуем применить это к \( \frac{11}{15} \) многократно.

Можно представить \( \frac{11}{15} \) как сумму нескольких дробей с числителем 1. Один из способов — это метод жадного алгоритма:

1. Находим наибольшую дробь с числителем 1, которая меньше \( \frac{11}{15} \). Это \( \frac{1}{2} \), так как \( \frac{1}{2} = \frac{7.5}{15} \).
2. Вычитаем её: \( \frac{11}{15} - \frac{1}{2} = \frac{22 - 15}{30} = \frac{7}{30} \).
3. Теперь находим наибольшую дробь с числителем 1, которая меньше \( \frac{7}{30} \). Это \( \frac{1}{5} \), так как \( \frac{1}{5} = \frac{6}{30} \).
4. Вычитаем её: \( \frac{7}{30} - \frac{1}{5} = \frac{7 - 6}{30} = \frac{1}{30} \).
5. Третья дробь — \( \frac{1}{30} \).

Таким образом, \( \frac{11}{15} = \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{30} \).

Проверим: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{30} = \frac{15}{30} + \frac{6}{30} + \frac{1}{30} = \frac{15+6+1}{30} = \frac{22}{30} = \frac{11}{15} \). Всё верно.

Ответ: \( \frac{11}{15} = \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{30} \).