36. Разложите на множители двучлен:

Решение:

Задание предполагает разложение двучленов на множители, используя формулы разности квадратов вида \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) и разности кубов \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \) или суммы кубов \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \), а также вынесение общего множителя за скобки.

а) \( n^2 - 16 \)

Применим формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \), где \( a = n \) и \( b = 4 \).

\( n^2 - 16 = n^2 - 4^2 = (n-4)(n+4) \)

б) \( 25 - 9a^2 \)

Применим формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \), где \( a = 5 \) и \( b = 3a \).

\( 25 - 9a^2 = 5^2 - (3a)^2 = (5-3a)(5+3a) \)

в) \( 36a^2 - 81b^4 \)

Применим формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \), где \( a = 6a \) и \( b = 9b^2 \).

\( 36a^2 - 81b^4 = (6a)^2 - (9b^2)^2 = (6a - 9b^2)(6a + 9b^2) \)

г) \( m^2n^2 - 1 \)

Применим формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \), где \( a = mn \) и \( b = 1 \).

\( m^2n^2 - 1 = (mn)^2 - 1^2 = (mn-1)(mn+1) \)

д) \( 9a^{12} - 25 \)

Применим формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \), где \( a = 3a^6 \) и \( b = 5 \).

\( 9a^{12} - 25 = (3a^6)^2 - 5^2 = (3a^6 - 5)(3a^6 + 5) \)

е) \( x^{18} - y^6 \)

Применим формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \), где \( a = x^9 \) и \( b = y^3 \).

\( x^{18} - y^6 = (x^9)^2 - (y^3)^2 = (x^9 - y^3)(x^9 + y^3) \)

Ответ:

а) \( (n-4)(n+4) \)

б) \( (5-3a)(5+3a) \)

в) \( (6a - 9b^2)(6a + 9b^2) \)

г) \( (mn-1)(mn+1) \)

д) \( (3a^6 - 5)(3a^6 + 5) \)

е) \( (x^9 - y^3)(x^9 + y^3) \)