36. С помощью диаграмм Эйлера — Венна для трёх множеств докажите или опровергните равенство: а) $(A \setminus B) \setminus C = A \setminus (B \setminus C)$; б) $A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C)$; в) $A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$; г) $A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$; д) $A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 36. С помощью диаграмм Эйлера — Венна для трёх множеств докажите или опровергните равенство: а) \((A \setminus B) \setminus C…$ Фото задания

36. С помощью диаграмм Эйлера — Венна для трёх множеств докажите или опровергните равенство: а) $(A \setminus B) \setminus C = A \setminus (B \setminus C)$; б) $A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C)$; в) $A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$; г) $A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$; д) $A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C)$.

Accepted Answer

Рассмотрим произвольный элемент области, содержащей множества $A$, $B$ и $C$. Разность множеств означает: $x \in A \setminus B$ тогда и только тогда, когда $x \in A$ и $x \notin B$. По этим условиям определяем области, которые следовало бы заштриховать на диаграммах Эйлера — Венна.

а) Левая часть задаёт элементы $A$, не принадлежащие ни $B$, ни $C$: $(A \setminus B) \setminus C = A \setminus (B \cup C)$. Правая часть $A \setminus (B \setminus C)$ содержит элементы из $A$, которые либо не входят в $B$, либо входят в $C$. Эти области в общем случае различны. Например, если $x \in A \cap B \cap C$, то $x$ не входит в левую часть, но входит в правую. Равенство неверно.
б) Левая часть состоит из элементов $A$, не принадлежащих ни $B$, ни $C$. В правой части достаточно не принадлежать хотя бы одному из множеств $B$, $C$. Например, элемент из $A \cap B$, не принадлежащий $C$, не входит в левую часть, но входит в $A \setminus C$, а значит, и в правую. Равенство неверно.
в) Принадлежность левой части означает $x \in A$, $x \notin B$ и $x \notin C$. Это в точности означает, что $x$ входит одновременно в $A \setminus B$ и $A \setminus C$. Следовательно, обе части задают одну и ту же область диаграммы: элементы $A$ вне $B$ и $C$. Равенство верно.
г) Левая часть содержит элементы $A$, не принадлежащие одновременно $B$ и $C$. Правая часть содержит элементы $A$, не принадлежащие ни $B$, ни $C$. Например, элемент $x \in A \cap B$, но $x \notin C$, входит в левую часть, однако не входит в $A \setminus B$, а значит, не входит и в правую. Равенство неверно.
д) Элемент входит в левую часть, если он принадлежит $A$ и не входит одновременно в $B$ и $C$, то есть не принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Это равносильно принадлежности $(A \setminus B) \cup (A \setminus C)$. На диаграмме обе части задают элементы $A$, за исключением области $B \cap C$. Равенство верно.

Ответ: равенства верны в пунктах в) и д); в пунктах а), б) и г) они неверны.