361. Докажите, что параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его угол пополам.

а) Пусть диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O и перпендикулярны. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому AO = OC. В прямоугольных треугольниках AOB и COB катет BO общий, а AO = OC. Следовательно, треугольники равны, откуда AB = BC. Параллелограмм с равными соседними сторонами — ромб.

б) Пусть диагональ AC делит угол A пополам. Так как AB ∥ CD, углы BAC и ACD равны как накрест лежащие. По условию углы BAC и CAD равны, значит, углы CAD и ACD равны, а в треугольнике ACD стороны CD и AD равны. В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD и AD = BC. Поэтому AB = BC, и параллелограмм является ромбом.

В обоих доказательствах использованы стандартные обозначения параллелограмма ABCD; во втором случае диагональ, делящая угол пополам, обозначена AC.