363. Докажите тождество: 1) ab(b - c) + ac(c-b) - a (b² - 3bc + c²) = abc; 2) 4a(a + b) - a(3a-4b) - 8ab = a²; 3) a(a + 2b)+b(a + b) = b(2a + b) + a(a + b); 4) a(b + c - bc)-b(a + c - ac) = (a - b)c.

Решение:

1. 1) ab(b - c) + ac(c - b) - a(b² - 3bc + c²) = abc
   Раскроем скобки: \( ab^2 - abc + ac^2 - abc - ab^2 + 3abc - ac^2 \).
   Приведём подобные слагаемые: \( ab^2 - ab^2 - abc - abc + 3abc + ac^2 - ac^2 = (-1-1+3)abc = abc \).
   Тождество доказано.
2. 2) 4a(a + b) - a(3a - 4b) - 8ab = a²
   Раскроем скобки: \( 4a^2 + 4ab - 3a^2 + 4ab - 8ab \).
   Приведём подобные слагаемые: \( 4a^2 - 3a^2 + 4ab + 4ab - 8ab = a^2 + (4+4-8)ab = a^2 \).
   Тождество доказано.
3. 3) a(a + 2b) + b(a + b) = b(2a + b) + a(a + b)
   Левая часть: \( a^2 + 2ab + ab + b^2 = a^2 + 3ab + b^2 \).
   Правая часть: \( 2ab + b^2 + a^2 + ab = a^2 + 3ab + b^2 \).
   Левая часть равна правой. Тождество доказано.
4. 4) a(b + c - bc) - b(a + c - ac) = (a - b)c
   Левая часть: \( ab + ac - abc - ab - bc + abc \).
   Приведём подобные слагаемые: \( ab - ab + ac - bc - abc + abc = ac - bc \).
   Вынесем общий множитель \( c \): \( c(a - b) \).
   Это равно правой части. Тождество доказано.