364 Дана таблица совместного распределения случайных величин X и Y (табл. 36). Найдите: a) E(X + Y); б) E(X - Y); в) E(2X - 3Y + 1).

Решение:

Для решения задачи нам понадобятся математические ожидания случайных величин X и Y. Сначала рассчитаем E(X) и E(Y).

Расчёт E(X):

E(X) = \( \sum_{i} x_i P(X=x_i) \) . Из таблицы видно, что X может принимать значения 1 и 2. Вероятности для X определяются суммированием вероятностей по строкам:

P(X=1) = 0,3 + 0,2 + 0,1 = 0,6

P(X=2) = 0,1 + 0,1 + 0,2 = 0,4

E(X) = \( 1 \cdot 0,6 + 2 \cdot 0,4 = 0,6 + 0,8 = 1,4 \)

Расчёт E(Y):

E(Y) = \( \sum_{j} y_j P(Y=y_j) \) . Из таблицы видно, что Y может принимать значения 0, 1 и 2. Вероятности для Y определяются суммированием вероятностей по столбцам:

P(Y=0) = 0,3 + 0,1 = 0,4

P(Y=1) = 0,2 + 0,1 = 0,3

P(Y=2) = 0,1 + 0,2 = 0,3

E(Y) = \( 0 \cdot 0,4 + 1 \cdot 0,3 + 2 \cdot 0,3 = 0 + 0,3 + 0,6 = 0,9 \)

а) E(X + Y):

По свойству линейности математического ожидания:

E(X + Y) = E(X) + E(Y) = 1,4 + 0,9 = 2,3

б) E(X - Y):

По свойству линейности математического ожидания:

E(X - Y) = E(X) - E(Y) = 1,4 - 0,9 = 0,5

в) E(2X - 3Y + 1):

По свойству линейности математического ожидания:

E(2X - 3Y + 1) = 2E(X) - 3E(Y) + 1 = 2 \( \cdot 1,4 - 3 \\(\cdot 0,9 + 1 = 2,8 - 2,7 + 1 = 0,1 + 1 = 1,1

Ответ: а\) E(X + Y) = 2,3; б) E(X - Y) = 0,5; в) E(2X - 3Y + 1) = 1,1.