364. Докажите, что при \(a>10\) выражение \(a-\dfrac{16}{a-5}\cdot\dfrac{25-a^2}{a-10}\) принимает положительные значения.

Так как \(a>10\), знаменатели \(a-5\) и \(a-10\) не равны нулю.

Разложим разность квадратов и сократим дробь:

\(a-\dfrac{16}{a-5}\cdot\dfrac{25-a^2}{a-10}=a-\dfrac{16}{a-5}\cdot\dfrac{-(a-5)(a+5)}{a-10}=a+\dfrac{16(a+5)}{a-10}.\)

Приведём к общему знаменателю:

\(a+\dfrac{16(a+5)}{a-10}=\dfrac{a(a-10)+16(a+5)}{a-10}=\dfrac{a^2+6a+80}{a-10}.\)

При \(a>10\) знаменатель положителен. Числитель также положителен: \(a^2+6a+80>0\), поскольку при \(a>10\) все его слагаемые положительны.

Ответ: выражение положительно при всех \(a>10\).