366 Докажите, что для равностороннего треугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Доказательство:

В равностороннем треугольнике все стороны равны и все углы равны 60°. Также в равностороннем треугольнике:

• Биссектрисы являются одновременно медианами и высотами.
• Точка пересечения биссектрис (центр вписанной окружности) совпадает с точкой пересечения медиан (центроидом) и точкой пересечения высот (ортоцентром).
• Точка пересечения серединных перпендикуляров (центр описанной окружности) также совпадает с точкой пересечения медиан.

Поскольку и центр вписанной окружности, и центр описанной окружности являются точкой пересечения медиан (или, что то же самое в равностороннем треугольнике, биссектрис и высот), эти центры совпадают.