366 Докажите, что если М точка пересечения медиан треугольника ABC, a O - произвольная точка пространства, то OM = 1/3(OA + OB + OC).

Доказательство:

Пусть O - произвольная точка пространства. Введём векторы: \( \vec{OA} \), \( \vec{OB} \), \( \vec{OC} \).

Точка M является центром масс системы из трех равных масс, помещенных в вершины A, B, C треугольника. Поэтому выполняется векторное равенство:

\[ \vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3} \]

Или, что то же самое:

\[ \vec{OM} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) \]

Это равенство означает, что вектор \( \vec{OM} \) равен средней арифметической векторов \( \vec{OA} \), \( \vec{OB} \) и \( \vec{OC} \).

Что и требовалось доказать.