366 В ящике 49 шаров с номерами от 1 до 49. Из ящика вынимают 6 случайных шаров. Вычислите математическое ожидание суммы чисел на вынутых шарах, если: а) каждый шар возвращается в ящик; б) вынутые шары не возвращаются.

Решение задачи 366:

Дано:

• Общее количество шаров: \( N = 49 \)
• Количество шаров, вынимаемых из ящика: \( n = 6 \)
• Номера шаров: от 1 до 49.

Найти: Математическое ожидание суммы чисел на вынутых шарах \( E(S) \).

Сумма номеров всех шаров:

\( S_{total} = \sum_{i=1}^{49} i = \frac{49(49+1)}{2} = \frac{49 \cdot 50}{2} = 49 \cdot 25 = 1225 \)

Математическое ожидание номера одного шара:

\( E(X) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} i = \frac{S_{total}}{N} = \frac{1225}{49} = 25 \)

а) Каждый шар возвращается в ящик (выборка с возвращением):

В этом случае выборки независимы. Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий.

\( E(S) = E(X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) + E(X_4) + E(X_5) + E(X_6) \)

Так как каждый шар возвращается, математическое ожидание номера каждого шара одинаково: \( E(X_i) = 25 \) для \( i = 1, …, 6 \).

\( E(S) = 6 \cdot E(X) = 6 \cdot 25 = 150 \)

б) Вынутые шары не возвращаются (выборка без возвращения):

Математическое ожидание суммы также равно сумме математических ожиданий, даже при выборке без возвращения, потому что каждый шар имеет равную вероятность быть выбранным в любую позицию.

\( E(S) = E(X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) + E(X_4) + E(X_5) + E(X_6) \)

Математическое ожидание номера любого случайно выбранного шара равно среднему арифметическому всех номеров: \( E(X_i) = 25 \).

\( E(S) = 6 \cdot E(X) = 6 \cdot 25 = 150 \)

Ответ: а) 150; б) 150.