37. Докажите, что при всех допустимых значениях \(a\) значение выражения \(\left(\dfrac{1}{a+1}-\dfrac{3}{a^3+1}+\dfrac{3}{a^2-a+1}\right)\left(a-\dfrac{2a-1}{a+1}\right)\) не зависит от значения \(a\).

Область допустимых значений: \(a\ne-1\), так как \(a^3+1=(a+1)(a^2-a+1)\), а знаменатели должны быть ненулевыми. При действительных \(a\), \(a^2-a+1=(a-\frac12)^2+\frac34>0\).

1. Упростим первую скобку, используя разложение \(a^3+1=(a+1)(a^2-a+1)\):

   \[\frac{1}{a+1}-\frac{3}{a^3+1}+\frac{3}{a^2-a+1}=\frac{a^2-a+1-3+3(a+1)}{(a+1)(a^2-a+1)}=\frac{(a+1)^2}{(a+1)(a^2-a+1)}=\frac{a+1}{a^2-a+1}.\]

2. Упростим вторую скобку:

   \[a-\frac{2a-1}{a+1}=\frac{a(a+1)-(2a-1)}{a+1}=\frac{a^2-a+1}{a+1}.\]

3. Перемножим полученные выражения:

   \[\frac{a+1}{a^2-a+1}\cdot\frac{a^2-a+1}{a+1}=1.\]

Ответ: значение выражения не зависит от \(a\) и равно 1.