37. Найдите α в каждом случае: а), б), в).

а) Пусть сторона квадрата равна 1, а точка на нижней стороне делит её на отрезки длиной x и 1 − x. По засечкам отрезок от нижнего левого угла до точки на левой стороне тоже равен 1 − x. Из угла 25° следует, что x = tan 25°. Тогда для угла α: tan α = (1 − x)/x? Рассмотрим треугольник с вершинами в верхнем левом углу, нижнем левом углу и точке на нижней стороне: его катеты равны 1 и x, поэтому tan α = 1/x. Поскольку x = tan 25°, получаем α = 90° − 25° = 65°.

б) Из рисунка лучи из нижнего левого угла образуют с вертикальной и горизонтальной сторонами углы по 20°. Поэтому угол между ними равен 90° − 20° − 20° = 50°. Треугольник, образованный этими лучами и отрезком между точками на верхней и правой сторонах, равнобедренный: его боковые стороны симметричны относительно диагонали квадрата. Значит, α = (180° − 50°) / 2 = 65°.

в) Луч, идущий от точки на нижней стороне к точке на правой стороне, образует с вертикальной стороной угол 45°. Так как стороны квадрата перпендикулярны, этот отрезок проходит под углом 45° к горизонтали. Обозначим сторону квадрата за 1, а расстояние точки на нижней стороне от левого нижнего угла за x. Тогда высота точки на правой стороне равна 1 − x. Угол 75° при нижней точке означает, что луч к верхнему левому углу направлен под углом 120° к горизонтали; поэтому tan 60° = 1/x и x = 1/√3. В прямоугольном треугольнике с вершиной в верхнем левом углу получаем tan α = 1/x = √3, откуда α = 60°.

Ответ: а) 65°; б) 65°; в) 60°.