37. Один человек имел 102 монеты. Он поровну разделил их между двумя своими сыновьями. Каждому досталось по 12 монет и одна осталась лишней. Какая система счисления использовалась? Укажите количество монет в десятичной системе.

Обозначим основание системы счисления через \(b\). Тогда запись \(102\) означает \(b^2+2\), а запись \(12\) — \(b+2\).

По условию общее количество монет равно удвоенному количеству, полученному каждым сыном, плюс одна лишняя:

\(b^2+2=2(b+2)+1\).

Упростим: \(b^2-2b-3=0\), то есть \((b-3)(b+1)=0\). Основание системы счисления должно быть больше 2, поэтому \(b=3\).

Каждый сын получил \(12_3=1\cdot3+2=5\) монет. Проверка: \(102_3=1\cdot9+2=11\), а \(5+5+1=11\).

Ответ: использовалась троичная система счисления; каждый сын получил 5 монет.