37. Представьте многочлен в виде произведения:

Задание 37: Представьте многочлен в виде произведения

1. а) \( 10a^2 - 10 \)

   Вынесем общий множитель 10:

   \( 10a^2 - 10 = 10(a^2 - 1) \)

   Используем формулу разности квадратов \( (a^2 - b^2) = (a - b)(a + b) \), где \( b = 1 \):

   \( 10(a^2 - 1^2) = 10(a - 1)(a + 1) \)

   Ответ: \( 10(a - 1)(a + 1) \)




2. б) \( 5a^3 - 5a \)

   Вынесем общий множитель \( 5a \):

   \( 5a^3 - 5a = 5a(a^2 - 1) \)

   Используем формулу разности квадратов \( (a^2 - b^2) = (a - b)(a + b) \), где \( b = 1 \):

   \( 5a(a^2 - 1^2) = 5a(a - 1)(a + 1) \)

   Ответ: \( 5a(a - 1)(a + 1) \)




3. в) \( 3b^3 - 3bc^2 \)

   Вынесем общий множитель \( 3b \):

   \( 3b^3 - 3bc^2 = 3b(b^2 - c^2) \)

   Используем формулу разности квадратов \( (a^2 - b^2) = (a - b)(a + b) \):

   \( 3b(b^2 - c^2) = 3b(b - c)(b + c) \)

   Ответ: \( 3b(b - c)(b + c) \)




4. г) \( -4x^5 + 4x^3 - x \)

   Вынесем общий множитель \( -x \) (для удобства, чтобы старший коэффициент стал положительным):

   \( -4x^5 + 4x^3 - x = -x(4x^4 - 4x^2 + 1) \)

   Выражение в скобках является квадратом двучлена. Заметим, что \( 4x^4 = (2x^2)^2 \) и \( 1 = 1^2 \). Средний член \( -4x^2 = -2 · (2x^2) · 1 \). Используем формулу квадрата разности \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \), где \( a = 2x^2 \) и \( b = 1 \):

   \( -x((2x^2)^2 - 2 · 2x^2 · 1 + 1^2) = -x(2x^2 - 1)^2 \)

   Ответ: \( -x(2x^2 - 1)^2 \)




5. д) \( a - 5b + a^2 - 25b^2 \)

   Перегруппируем слагаемые:

   \( a - 5b + a^2 - 25b^2 = (a^2 - 25b^2) + (a - 5b) \)

   Применим формулу разности квадратов \( (a^2 - b^2) = (a - b)(a + b) \) к первому члену, где \( b = 5b \):

   \( (a - 5b)(a + 5b) + (a - 5b) \)

   Вынесем общий множитель \( (a - 5b) \):

   \( (a - 5b)((a + 5b) + 1) \)

   \( (a - 5b)(a + 5b + 1) \)

   Ответ: \( (a - 5b)(a + 5b + 1) \)




6. е) \( mk^6 - mk^4 - k^6 + k^4 \)

   Перегруппируем слагаемые:

   \( mk^6 - mk^4 - k^6 + k^4 = (mk^6 - k^6) - (mk^4 - k^4) \)

   Вынесем общие множители из каждой скобки:

   \( k^6(m - 1) - k^4(m - 1) \)

   Вынесем общий множитель \( (m - 1) \):

   \( (m - 1)(k^6 - k^4) \)

   Вынесем общий множитель \( k^4 \) из второго множителя:

   \( (m - 1)k^4(k^2 - 1) \)

   Применим формулу разности квадратов \( (k^2 - 1) = (k - 1)(k + 1) \):

   \( (m - 1)k^4(k - 1)(k + 1) \)

   Ответ: \( k^4(m - 1)(k - 1)(k + 1) \)