Ответ:

1. Спит Самарканд, окутанный мягкой дымкой ночной тишины.

Грамматическая основа: Самарканд спит. Предложение повествовательное, невосклицательное, простое, распространённое, осложнено обособленным согласованным определением окутанный мягкой дымкой ночной тишины.

2. Время спокойно и размеренно течёт в этом древнем городе.

Грамматическая основа: время течёт. Предложение повествовательное, невосклицательное, простое, распространённое. В этом древнем городе — обстоятельство места, спокойно и размеренно — однородные обстоятельства образа действия.

3. Улугбек работает в своей обсерватории, изучая звёзды и тщательно записывая результаты своих исследований.

Грамматическая основа: Улугбек работает. Предложение повествовательное, невосклицательное, простое, распространённое, осложнено однородными деепричастными оборотами изучая звёзды и тщательно записывая результаты своих исследований.