37. Углы при одном из оснований трапеции равны 77° и 13°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 10. Найдите основания трапеции.

Средняя линия трапеции равна половине суммы оснований. Отрезок, соединяющий середины оснований, равен половине разности оснований: это следует из углов 77° и 13° при одном основании (они дополняют друг друга до 90°).

Пусть основания равны a и b, причём a > b. Тогда длины указанных отрезков равны \(\frac{a+b}{2}\) и \(\frac{a-b}{2}\). Для положительных оснований первый отрезок длиннее, значит:

\(\frac{a+b}{2}=11,\quad \frac{a-b}{2}=10.\)

Складываем равенства: \(a=21\). Вычитаем второе из первого: \(b=1\).

Ответ: основания трапеции равны 21 и 1.