37. Упростите выражение: а) A ∩ (A \ B); б) A ∪ (A \ B); в) A \ (A \ B); г) (A \ B) ∪ B; д) A △ A △ A; е) Ā \ B̄; ж) (A △ B) △ (B △ C).

Используем определения разности множеств и симметрической разности: элементы из A \ B принадлежат A, а B △ B = ∅.

1. а) A ∩ (A \ B) = A \ B, поскольку A \ B ⊆ A.
2. б) A ∪ (A \ B) = A, поскольку A \ B ⊆ A.
3. в) A \ (A \ B) = A ∩ B: из элементов A удаляем те, которые не принадлежат B.
4. г) (A \ B) ∪ B = A ∪ B: объединение включает элементы B и элементы A, не принадлежащие B.
5. д) A △ A △ A = (A △ A) △ A = ∅ △ A = A.
6. е) Ā \ B̄ = Ā ∩ (B̄)̄ = Ā ∩ B.
7. ж) (A △ B) △ (B △ C) = A △ B △ B △ C = A △ ∅ △ C = A △ C.

Ответ: а) A \ B; б) A; в) A ∩ B; г) A ∪ B; д) A; е) Ā ∩ B; ж) A △ C.