371. Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если: а) ∠BAC = ∠ACD; б) AB ∥ CD, ∠A = ∠C.

а) Условие \(\angle BAC=\angle ACD\) означает, что при пересечении прямых \(AB\) и \(CD\) секущей \(AC\) равны накрест лежащие углы. Следовательно, \(AB\parallel CD\).

Однако из одной пары параллельных противоположных сторон ещё не следует, что четырёхугольник является параллелограммом: он может быть произвольной трапецией. Поэтому утверждение в пункте а) в таком виде неверно. Например, у равнобедренной трапеции углы \(BAC\) и \(ACD\) равны, но \(AD\not\parallel BC\).

б) Так как \(AB\parallel CD\), прямая \(AD\) является секущей, поэтому внутренние односторонние углы supplementary:

\[\angle A+\angle D=180^\circ.\]

По условию \(\angle A=\angle C\). Значит,

\[\angle C+\angle D=180^\circ.\]

Углы \(C\) и \(D\) — внутренние односторонние углы при пересечении прямых \(BC\) и \(AD\) секущей \(CD\). Если их сумма равна \(180^\circ\), то прямые параллельны:

\[BC\parallel AD.\]

В четырёхугольнике ABCD обе пары противоположных сторон параллельны: \(AB\parallel CD\) и \(BC\parallel AD\). Следовательно, ABCD — параллелограмм.

Ответ: а) утверждение недостаточно для доказательства и является неверным в таком виде; б) ABCD — параллелограмм.