371. Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если: а) ∠BAC = ∠ACD, ∠BCA = ∠DAC; б) AB ∥ CD, ∠A = ∠C.

а) Рассмотрим треугольники \(\triangle BAC\) и \(\triangle ACD\).

1. По условию \(\angle BAC=\angle ACD\) и \(\angle BCA=\angle DAC\).
2. Сторона \(AC\) является общей для треугольников.
3. Следовательно, \(\triangle BAC=\triangle ACD\) по стороне и двум прилежащим к ней углам.
4. Из равенства соответствующих углов получаем: \(\angle BAC=\angle ACD\), значит, \(AB\parallel CD\); \(\angle BCA=\angle DAC\), значит, \(BC\parallel AD\).

Выпуклый четырёхугольник, у которого обе пары противоположных сторон параллельны, является параллелограммом.

б) Так как \(AB\parallel CD\), а \(AD\) — секущая, то внутренние односторонние углы supplementary:

\(\angle A+\angle D=180^\circ\).

По условию \(\angle A=\angle C\), поэтому

\(\angle C+\angle D=180^\circ\).

Углы \(\angle C\) и \(\angle D\) являются внутренними односторонними углами при пересечении прямых \(BC\) и \(AD\) секущей \(CD\). Следовательно, \(BC\parallel AD\).

Итак, \(AB\parallel CD\) и \(AD\parallel BC\), поэтому \(ABCD\) — параллелограмм.

Ответ: а) и б) четырёхугольник ABCD является параллелограммом.