374. Даны две независимые случайные величины X и Y. Известно, что DX = 4, DY = 9. Найдите дисперсию случайной величины: a) X+Y; б) X-Y; в) \(\frac{X+Y}{2}\); г) \(\frac{X}{2} + \frac{Y}{3} + 5\).

Краткое пояснение:

Для нахождения дисперсии суммы или разности независимых случайных величин используется свойство аддитивности дисперсии: \(D(X+Y) = DX + DY\) и \(D(X-Y) = DX + DY\). Дисперсия константы равна нулю, а дисперсия произведения случайной величины на константу равна квадрату константы, умноженному на дисперсию случайной величины: \(D(cX) = c^2 DX\).

Пошаговое решение:

• а) Дисперсия X + Y:
  Поскольку X и Y независимы, \( D(X+Y) = DX + DY \).
  \[ D(X+Y) = 4 + 9 = 13 \]
• б) Дисперсия X - Y:
  Поскольку X и Y независимы, \( D(X-Y) = DX + DY \).
  \[ D(X-Y) = 4 + 9 = 13 \]
• в) Дисперсия \(\frac{X+Y}{2}\):
  \[ D\left(\frac{X+Y}{2}\right) = D\left(\frac{1}{2}X + \frac{1}{2}Y\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 DX + \left(\frac{1}{2}\right)^2 DY \]
  \[ = \frac{1}{4} \cdot 4 + \frac{1}{4} \cdot 9 = 1 + \frac{9}{4} = 1 + 2.25 = 3.25 \]
• г) Дисперсия \(\frac{X}{2} + \frac{Y}{3} + 5\):
  Дисперсия константы (5) равна 0.
  \[ D\left(\frac{X}{2} + \frac{Y}{3} + 5\right) = D\left(\frac{1}{2}X + \frac{1}{3}Y\right) + D(5) \]
  \[ = \left(\frac{1}{2}\right)^2 DX + \left(\frac{1}{3}\right)^2 DY + 0 \]
  \[ = \frac{1}{4} \cdot 4 + \frac{1}{9} \cdot 9 = 1 + 1 = 2 \]

Ответ:
а) 13
б) 13
в) 3.25
г) 2