378. Начертите треугольник ABC и прямую p, не пересекающую его стороны. Постройте треугольник A₁B₁C₁, симметричный относительно прямой p. Пользуясь масштабной линейкой и транспортиром, убедитесь в том, что стороны и углы треугольника A₁B₁C₁ соответственно равны сторонам и углам треугольника ABC. Выполните ещё раз построение для случая, когда прямая p пересекает две стороны треугольника.

Построение 1.

1. Начертим треугольник ABC и прямую p, расположенную вне треугольника.
2. Из вершин A, B и C проведём перпендикуляры к прямой p.
3. На продолжении каждого перпендикуляра за прямую p отложим такое же расстояние: AA₁ = 2AH_A, BB₁ = 2BH_B, CC₁ = 2CH_C, где H_A, H_B, H_C — основания перпендикуляров.
4. Соединим точки A₁, B₁ и C₁. Получим треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC относительно прямой p.

При измерении получаем: AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, CA = C₁A₁. Также равны соответствующие углы: ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁. Это объясняется тем, что осевая симметрия сохраняет расстояния и величины углов.

Построение 2. Начертим треугольник и прямую p, пересекающую две его стороны. Для каждой вершины снова проведём перпендикуляр к p и отложим по другую сторону прямой равное расстояние. Полученные точки A₁, B₁, C₁ соединим. Если прямая пересекает стороны треугольника, точки пересечения являются неподвижными при симметрии: они лежат на прямой p и совпадают со своими образами.

Во втором случае также сохраняются все длины и углы: AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, CA = C₁A₁, а соответствующие углы равны.

Ответ: при осевой симметрии треугольник переходит в равный ему треугольник: соответствующие стороны и углы сохраняются.