378 Начертите треугольник АВС и прямую р, не пересекающую его стороны. Постройте треугольник А1В1С1, симметричный треугольнику АВС относительно прямой р. Пользуясь масштабной линейкой и транспортиром, убедитесь в том, что стороны и углы треугольника А1В1С1 соответственно равны сторонам и углам треугольника АВС. Выполните ещё раз построение для случая, когда прямая р пересекает две стороны треугольника.

Решение:

Это задача на построение симметричного треугольника и проверку равенства сторон и углов.

1. Построение симметричного треугольника:
   1. Для каждой вершины треугольника АВС (А, В, С) проводится перпендикуляр к прямой р.
   2. На каждом перпендикуляре от точки пересечения с прямой р откладывается отрезок, равный по длине отрезку от вершины до прямой р, но по другую сторону от р. Отмеченные точки будут вершинами А1, В1, С1.
   3. Вершины А1, В1, С1 соединяются отрезками, образуя треугольник А1В1С1.
2. Проверка равенства:
   1. С помощью масштабной линейки измеряются длины соответствующих сторон треугольников АВС и А1В1С1 (АВ и А1В1, ВС и В1С1, АС и А1С1).
   2. С помощью транспортира измеряются соответствующие углы треугольников АВС и А1В1С1 (∠A и ∠A1, ∠B и ∠B1, ∠C и ∠C1).
   3. Результаты измерений сравниваются. По свойству осевой симметрии, треугольники должны быть равны, следовательно, их соответствующие стороны и углы будут равны.
3. Построение при пересечении прямой р с двумя сторонами треугольника:
   1. Процесс построения аналогичен: перпендикуляры из вершин А, В, С к прямой р, откладывание равных отрезков по другую сторону прямой р.
   2. Полученные вершины А1, В1, С1 соединяются.

Вывод: В результате построения получаем треугольник А1В1С1, который является образом треугольника АВС при симметрии относительно прямой р. Соответствующие стороны и углы равны, что подтверждает свойства осевой симметрии.