38. Докажите теорему Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Обозначим точки первой прямой через A₀, A₁, …, Aₙ так, что A₀A₁ = A₁A₂ = … . Через эти точки проведены параллельные прямые; пусть они пересекают вторую прямую в точках B₀, B₁, …, Bₙ. Обозначим точку пересечения двух исходных прямых через O.

1. Треугольники OAᵢBᵢ подобны: у них общий угол при O, а углы при Aᵢ и Bᵢ равны как соответствующие углы при параллельных прямых.
2. По подобию для каждого i отношение OBᵢ к OAᵢ одинаково: OBᵢ/OAᵢ = k, где k — постоянный коэффициент.
3. Так как Aᵢ₊₁Aᵢ равны, соответствующие отрезки на второй прямой тоже равны: BᵢBᵢ₊₁ = k · AᵢAᵢ₊₁.

Следовательно, B₀B₁ = B₁B₂ = … = Bₙ₋₁Bₙ. Теорема доказана.