38 На прямой отмечены точки О, А и В так, что ОА = 12 см, ОВ = 9 см. Найдите расстояние между серединами отрезков ОА и ОВ, если точка О: а) лежит на отрезке АВ; б) не лежит на отрезке АВ.

Решение:

Обозначим середину отрезка ОА как M, а середину отрезка ОВ как N.

а) Точка О лежит на отрезке АВ.

В этом случае точки расположены в следующем порядке: А, О, В или В, О, А.

Если точки расположены А, О, В, то:

• Расстояние от О до середины ОА (точка M) равно ¹²/₂ = 6 см.
• Расстояние от О до середины ОВ (точка N) равно ⁹/₂ = 4,5 см.
• Так как точки О, А, В лежат на одной прямой, и O находится между А и В, то середина отрезка ОА (M) будет на расстоянии 6 см от О в сторону А, а середина отрезка ОВ (N) будет на расстоянии 4,5 см от О в сторону В.
• Расстояние между серединами M и N будет равно сумме расстояний от О до M и от О до N: MN = OM + ON = 6 см + 4,5 см = 10,5 см.

Если точки расположены В, О, А, то:

• Расстояние от О до середины ОА (точка M) равно ¹²/₂ = 6 см.
• Расстояние от О до середины ОВ (точка N) равно ⁹/₂ = 4,5 см.
• Середина отрезка ОА (M) будет на расстоянии 6 см от О в сторону А, а середина отрезка ОВ (N) будет на расстоянии 4,5 см от О в сторону В.
• Расстояние между серединами M и N будет равно сумме расстояний от О до M и от О до N: MN = OM + ON = 6 см + 4,5 см = 10,5 см.

б) Точка О не лежит на отрезке АВ.

Это означает, что либо точка А лежит между О и В, либо точка В лежит между О и А.

Случай 1: Точки расположены О, А, В.

• Расстояние ОА = 12 см, ОВ = 9 см. Так как ОА > ОВ, этот случай невозможен, если О, А, В идут в таком порядке.

Случай 2: Точки расположены О, В, А.

• ОА = 12 см, ОВ = 9 см.
• Середина отрезка ОА (M) находится на расстоянии ¹²/₂ = 6 см от О.
• Середина отрезка ОВ (N) находится на расстоянии ⁹/₂ = 4,5 см от О.
• Обе середины (M и N) лежат на луче ОА. Точка N (середина ОВ) находится ближе к О, чем точка M (середина ОА).
• Расстояние между серединами M и N равно разности расстояний от О до M и от О до N: MN = OM - ON = 6 см - 4,5 см = 1,5 см.

Случай 3: Точки расположены А, В, О.

• Этот случай возможен, если точки расположены в таком порядке: А, В, О.
• ОА = 12 см, ОВ = 9 см.
• Если мы ориентируемся от точки О, то А находится на расстоянии 12 см, а В на расстоянии 9 см.
• Середина отрезка ОА (M) находится на расстоянии 6 см от О.
• Середина отрезка ОВ (N) находится на расстоянии 4,5 см от О.
• Предположим, что точки расположены на числовой оси: О — начало координат (0). Тогда В = -9, А = -12.
• Середина отрезка ОВ (N) будет в точке -4,5.
• Середина отрезка ОА (M) будет в точке -6.
• Расстояние между N и M равно |-6 - (-4,5)| = |-6 + 4,5| = |-1,5| = 1,5 см.

Ответ:

а) 10,5 см

б) 1,5 см