38. Найдите значение выражения 2√2cos α/8, если cos α/4 = -1/4, α/4 ∈ (π/2; π).

Решение:

Нам нужно найти значение выражения \( 2\sqrt{2} \cos{\frac{\alpha}{8}} \), зная, что \( \cos{\frac{\alpha}{4}} = -\frac{1}{4} \) и \( \frac{\alpha}{4} \in (\frac{\pi}{2}; \pi) \).

1. Используем формулу косинуса половинного угла: \( \cos{\frac{\theta}{2}} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos{\theta}}{2}} \).
2. Пусть \( \theta = \frac{\alpha}{4} \), тогда \( \frac{\theta}{2} = \frac{\alpha}{8} \).
3. Так как \( \frac{\alpha}{4} \in (\frac{\pi}{2}; \pi) \), то \( \frac{\alpha}{8} \in (\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}) \). В этом интервале косинус положителен.
4. Подставим значение \( \cos{\frac{\alpha}{4}} = -\frac{1}{4} \) в формулу: \[ \cos{\frac{\alpha}{8}} = \sqrt{\frac{1 + (-\frac{1}{4})}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{4}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{3}{4}}{2}} = \sqrt{\frac{3}{8}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \]
5. Теперь подставим найденное значение в исходное выражение: \[ 2\sqrt{2} \cos{\frac{\alpha}{8}} = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \sqrt{3} \]

Ответ: \(\sqrt{3}\)