Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 38. Решите неравенства: а) \((x^2+x)(49-x^2)<0\); б) \((x^4-1)(x^2+11)>0\); в) \((x^2-7)(x^2+18)<0\); г)…Фото задания

Ответ:

  1. а) Разложим на множители: \((x^2+x)(49-x^2)=x(x+1)(7-x)(7+x)\). Критические точки: \(-7,-1,0,7\). Знак произведения отрицателен на промежутках \((-7,-1)\) и \((0,7)\).

    Ответ: \((-7;-1)\cup(0;7)\).

  2. б) \(x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)\), причём \(x^2+1>0\) и \(x^2+11>0\) при любом \(x\). Поэтому требуется \(x^2-1>0\), то есть \(|x|>1\).

    Ответ: \((-\infty;-1)\cup(1;+\infty)\).

  3. в) Множитель \(x^2+18\) всегда положителен. Значит, \(x^2-7<0\), откуда \(-\sqrt7<x<\sqrt7\).

    Ответ: \((-\sqrt7;\sqrt7)\).

  4. г) Нули множителей: \(x=\pm\sqrt{11}\) и \(x=\pm\sqrt{15}\). Поскольку \(11<15\), по знакам множителей произведение неотрицательно при \(\sqrt{11}\le |x|\le\sqrt{15}\); концы включаются.

    Ответ: \([ -\sqrt{15};-\sqrt{11} ]\cup[ \sqrt{11};\sqrt{15} ]\).

  5. д) \((x^3-3x^2)(x^2+7)=x^2(x-3)(x^2+7)\). Так как \(x^2+7>0\), неравенство равносильно \(x^2(x-3)\le0\). Оно выполняется при \(x=0\) и при \(x\le3\), то есть просто при \(x\le3\).

    Ответ: \((-\infty;3]\).

  6. е) Разложим квадратный трёхчлен: \(x^2-6x+5=(x-1)(x-5)\). Критические точки: \(-8,1,5\). Знак произведения положителен на \((-8,1)\) и \((5,+\infty)\); нули не входят из-за строгого неравенства.

    Ответ: \((-8;1)\cup(5;+\infty)\).

  7. ж) Для \(x^2-x+11\) дискриминант \(D=1-44=-43<0\), а старший коэффициент положителен, поэтому этот множитель всегда положителен. Остаётся \(4-x\ge0\).

    Ответ: \((-\infty;4]\).

  8. з) Множитель \(x^2+2x+14\) всегда положителен: его дискриминант \(D=4-56=-52<0\), старший коэффициент положителен. Поэтому решаем \(x^2-9>0\), то есть \((x-3)(x+3)>0\).

    Ответ: \((-\infty;-3)\cup(3;+\infty)\).