38. Стороны четырёхугольника, записанные по порядку, равны 1 м, 2 м, 3 м и 4 м. Может ли его площадь быть равна 5 м²?

Обозначим стороны четырёхугольника через a, b, c, d. Для его площади S справедливо неравенство Бретшнейдера:

\(S^2=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2\frac{A+C}{2}\), где \(s=\frac{a+b+c+d}{2}\), а \(A\) и \(C\) — противоположные углы.

Поскольку квадрат косинуса неотрицателен, площадь не превосходит значения, соответствующего первому произведению. Здесь \(s=5\), поэтому

\(S^2\le(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)=4\cdot3\cdot2\cdot1=24\).

Значит, \(S\le\sqrt{24}<5\), так как \(24<25\).

Ответ: нет, площадь не может быть равна 5 м².