38. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка О – центр основания, S – вершина, SO=42, SA=58. Найдите длину отрезка BD.

Решение:

Пирамида правильная четырёхугольная, значит, в основании лежит квадрат ABCD, а вершина S проецируется в центр основания O.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA. По теореме Пифагора:

\[ SA^2 = SO^2 + AO^2 \]\[ AO^2 = SA^2 - SO^2 \]\[ AO^2 = 58^2 - 42^2 \]\[ AO^2 = (58-42)(58+42) \]\[ AO^2 = 16 × 100 \]\[ AO^2 = 1600 \]\[ AO = \sqrt{1600} = 40 \]

Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам, поэтому:

\[ BD = 2 × AO \]\[ BD = 2 × 40 \]\[ BD = 80 \]

Ответ: BD = 80.