380. Докажите, что при любом $n\in\mathbb{N}$ значение данного выражения является целым числом: а) $\dfrac{10^n+7199}{9}$; б) $\dfrac{10^n+317}{3}$; в) $\dfrac{10^n+305}{15}$; г) $\dfrac{10^n+428}{6}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 380. Докажите, что при любом $n\in\mathbb{N}$ значение данного выражения является целым числом: а)…$ Фото задания

380. Докажите, что при любом $n\in\mathbb{N}$ значение данного выражения является целым числом: а) $\dfrac{10^n+7199}{9}$; б) $\dfrac{10^n+317}{3}$; в) $\dfrac{10^n+305}{15}$; г) $\dfrac{10^n+428}{6}$.

Accepted Answer

Используем сравнения по модулю. Так как $10\equiv1\pmod 9$, то $10^n\equiv1\pmod 9$; также $10^n\equiv1\pmod 3$. Кроме того, при $n\ge1$ число $10^n$ делится на 5 и на 2.

а) $7199\equiv8\pmod 9$, поэтому $10^n+7199\equiv1+8\equiv0\pmod 9$. Значит, числитель делится на знаменатель 9.
б) $317\equiv2\pmod 3$, поэтому $10^n+317\equiv1+2\equiv0\pmod 3$. Значит, числитель делится на 3.
в) Число $10^n+305$ делится на 5, поскольку оба слагаемых делятся на 5. При этом $305 equiv2\pmod 3$, поэтому $10^n+305\equiv1+2 equiv0\pmod 3$. Следовательно, числитель не всегда делится на 15: например, при $n=1$ получаем $\dfrac{10+305}{15}=21\frac{0}{15}$ — это целое число; для любого $n\ge1$, по модулю 3 числитель равен 0.
г) Число $10^n+428$ чётное, поскольку оба слагаемых чётные. Кроме того, $428\equiv2\pmod 3$, поэтому $10^n+428\equiv1+2\equiv0\pmod 3$. Значит, числитель делится и на 2, и на 3, а значит, на 6.

Ответ: все четыре выражения являются целыми числами.

380. Докажите, что при любом \(n\in\mathbb{N}\) значение данного выражения является целым числом: а) \(\dfrac{10^n+7199}{9}\); б) \(\dfrac{10^n+317}{3}\); в) \(\dfrac{10^n+305}{15}\); г) \(\dfrac{10^n+428}{6}\).

Ответ: