382. Диагонали параллелограмма пересекаются в точке O. Докажите, что четырёхугольник, вершинами которого являются середины отрезков OA, OB, OC, OD, — параллелограмм.

Пусть K, L, M, N — середины отрезков OA, OB, OC, OD соответственно.

1. Рассмотрим треугольник OAB. Так как K и L — середины его сторон OA и OB, по теореме о средней линии треугольника получаем: KL ∥ AB.
2. Рассмотрим треугольник OCD. Точки M и N — середины сторон OC и OD, поэтому MN ∥ CD.
3. В параллелограмме ABCD противоположные стороны параллельны: AB ∥ CD. Следовательно, KL ∥ MN.
4. Рассмотрим треугольник OBC. По теореме о средней линии LM ∥ BC.
5. Рассмотрим треугольник OAD. Поэтому KN ∥ AD.
6. Так как в параллелограмме ABCD BC ∥ AD, получаем LM ∥ KN.

У четырёхугольника KLMN обе пары противоположных сторон параллельны. Следовательно, KLMN — параллелограмм.

Ответ: четырёхугольник, образованный серединами отрезков OA, OB, OC и OD, является параллелограммом.