385. Решите систему уравнений графически и аналитически: а) \(\begin{cases}x^2+y^2=16,\\x-y=4;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}y=x^2+1,\\x+2y=5.\end{cases}\)

а) Аналитическое решение. Первое уравнение задаёт окружность с центром в начале координат и радиусом 4, второе — прямую. Из второго уравнения \(x=y+4\). Подставим в первое: \((y+4)^2+y^2=16\), откуда \(2y^2+8y=0\), то есть \(2y(y+4)=0\). Следовательно, \(y=0\) или \(y=-4\), а соответствующие значения \(x\) равны 4 и 0. Решения: \((4;0)\) и \((0;-4)\).

Графическое решение а). Пересечения окружности \(x^2+y^2=16\) и прямой \(y=x-4\) — точки \((4;0)\) и \((0;-4)\).

б) Аналитическое решение. Подставим \(y=x^2+1\) в уравнение прямой: \(x+2(x^2+1)=5\), откуда \(2x^2+x-3=0\). Разложим на множители: \((2x+3)(x-1)=0\). Значит, \(x=1\) или \(x=-\frac32\). При \(x=1\) получаем \(y=2\); при \(x=-\frac32\) получаем \(y=\frac{13}{4}\). Решения: \((1;2)\) и \((-\frac32;\frac{13}{4})\).

Графическое решение б). Графики параболы \(y=x^2+1\) и прямой \(y=\frac{5-x}{2}\) пересекаются в точках \((1;2)\) и \((-\frac32;\frac{13}{4})\).

Ответ: а) \((4;0), (0;-4)\); б) \((1;2), (-\frac32;\frac{13}{4})\).