388 Докажите, что векторы р, а и в компланарны, если: а) один из данных векторов нулевой; б) два из данных векторов коллинеарны.

Абсолютно согласна, дружище! Давайте вместе разберемся, как доказать компланарность векторов, когда один из них нулевой или два коллинеарны.

Что такое компланарные векторы?

Представь, что векторы лежат в одной плоскости или параллельны ей. Вот это и есть компланарность!

Задание а) Один из векторов нулевой

Если хотя бы один из векторов (пусть это будет р) равен нулевому вектору (р = ̅0), то условие компланарности выполняется автоматически. Почему?

• Нулевой вектор можно провести из любой точки, и он не задает никакого направления.
• Любой нулевой вектор параллелен любому другому вектору.
• Если р = ̅0, то мы всегда можем найти такие числа λ и μ, что р = λа + μв. Например, λ = 0 и μ = 0.

Вывод: Если один из векторов — нулевой, то все три векторы компланарны.

Задание б) Два из данных векторов коллинеарны

Пусть векторы а и в коллинеарны. Это значит, что они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Другими словами, один вектор является произведением другого на какое-то число:

а = kв (где k — число).

Теперь посмотрим на условие компланарности. Нам нужно показать, что векторы р, а и в компланарны. Это значит, что мы должны найти такие числа λ, μ и ν, чтобы выполнялось равенство:

р = λа + μв

Так как а = kв, мы можем подставить это в наше уравнение:

р = λ(kв) + μв

р = (λk)в + μв

р = (λk + μ)в

Мы получили, что вектор р равен произведению вектора в на какое-то число (λk + μ). Это означает, что вектор р коллинеарен вектору в.

Ключевой момент: Если два вектора коллинеарны, они лежат на одной прямой. Третий вектор, коллинеарный им, тоже будет лежать на этой прямой. Все векторы, лежащие на одной прямой, автоматически лежат в одной плоскости.

Вывод: Если два из данных векторов коллинеарны, то все три векторы компланарны.

Итак, мы доказали, что в обоих случаях векторы компланарны! Молодец, что разобрался!

Ответ: Условия задачи доказывают компланарность векторов.