388. Найдите распределение случайной величины (X — EX)2 и затем вычислите дисперсию случайной величины: a) X ~ ( -5 4 9 1 1 5 8 4 8 ) 6) X ~ ( -5 0 2 5 0,1 0,3 0,5 0,1 )

Решение задачи 388

а) Для случайной величины X ~ ( -5 4 9 / 1/8 1/4 5/8 )

Сначала найдем математическое ожидание (EX) случайной величины X:

\[ EX = (-5) \times \frac{1}{8} + 4 \times \frac{1}{4} + 9 \times \frac{5}{8} \]

\[ EX = -\frac{5}{8} + 1 + \frac{45}{8} = -0.625 + 1 + 5.625 = 6 \]

Теперь найдем значения случайной величины (X - EX)^2:

• При X = -5: (-5 - 6)^2 = (-11)^2 = 121
• При X = 4: (4 - 6)^2 = (-2)^2 = 4
• При X = 9: (9 - 6)^2 = (3)^2 = 9

Распределение случайной величины (X - EX)^2:

\[ (X - EX)^2 ~ \left( \begin{array}{ccc} 121 & 4 & 9 \\ \frac{1}{8} & \frac{1}{4} & \frac{5}{8} \end{array} \right) \]

Теперь вычислим дисперсию (DX) случайной величины X:

\[ DX = E(X - EX)^2 = 121 \times \frac{1}{8} + 4 \times \frac{1}{4} + 9 \times \frac{5}{8} \]

\[ DX = \frac{121}{8} + 1 + \frac{45}{8} = 15.125 + 1 + 5.625 = 21.75 \]

б) Для случайной величины X ~ ( -5 0 2 5 / 0.1 0.3 0.5 0.1 )

Найдем математическое ожидание (EX):

\[ EX = (-5) \times 0.1 + 0 \times 0.3 + 2 \times 0.5 + 5 \times 0.1 \]

\[ EX = -0.5 + 0 + 1.0 + 0.5 = 1.0 \]

Найдем значения случайной величины (X - EX)^2:

• При X = -5: (-5 - 1)^2 = (-6)^2 = 36
• При X = 0: (0 - 1)^2 = (-1)^2 = 1
• При X = 2: (2 - 1)^2 = (1)^2 = 1
• При X = 5: (5 - 1)^2 = (4)^2 = 16

Распределение случайной величины (X - EX)^2:

\[ (X - EX)^2 ~ \left( \begin{array}{cccc} 36 & 1 & 1 & 16 \\ 0.1 & 0.3 & 0.5 & 0.1 \end{array} \right) \]

Вычислим дисперсию (DX):

\[ DX = E(X - EX)^2 = 36 \times 0.1 + 1 \times 0.3 + 1 \times 0.5 + 16 \times 0.1 \]

\[ DX = 3.6 + 0.3 + 0.5 + 1.6 = 6.0 \]

Ответ:

• а) (X - EX)^2 ~ ( 121 4 9 / 1/8 1/4 5/8 ); DX = 21.75
• б) (X - EX)^2 ~ ( 36 1 1 16 / 0.1 0.3 0.5 0.1 ); DX = 6.0