389. Докажите, что трапеция равнобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагонали трапеции равны.

Пусть дана трапеция ABCD, где AD ∥ BC.

а) Пусть углы при основании равны: ∠DAB = ∠CDA. Проведём из вершин B и C перпендикуляры BM и CN к основанию AD.

1. Так как AD ∥ BC, расстояние между параллельными прямыми постоянно, поэтому BM = CN.
2. Прямоугольные треугольники ABM и DCN имеют равные катеты BM = CN и равные острые углы: ∠BAM = ∠CDN.
3. Следовательно, эти треугольники равны, поэтому AB = CD.

Значит, боковые стороны трапеции равны, поэтому трапеция равнобедренная.

б) Пусть диагонали равны: AC = BD.

Рассмотрим треугольники ABC и DCB. У них:

• AC = BD — по условию;
• BC — общая сторона;
• ∠ACB = ∠DBC, так как AD ∥ BC и это накрест лежащие углы.

Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому AB = CD.

Таким образом, боковые стороны трапеции равны, следовательно, трапеция равнобедренная.

Ответ: в обоих случаях трапеция равнобедренная.