389. Найдите дисперсию и стандартное отклонение случайной величины, имеющей симметричное распределение: a) X ~ (2 4 6 8 10 ; б) Y ~ (-5 -3 -1 1 0,01 0,24 0,5 0,24 0,01 0,2 0,3 0,3 0,2 При необходимости результат округлите до тысячных.

Решение задачи 389:

а) Для случайной величины X

Данное распределение симметрично относительно значения 6.

1. Находим математическое ожидание EX:
• \[ EX = (2 × 0.01) + (4 × 0.24) + (6 × 0.5) + (8 × 0.24) + (10 × 0.01) \]
• \[ EX = 0.02 + 0.96 + 3.0 + 0.96 + 0.02 = 4.96 \]
• Находим дисперсию DX:
• \[ DX = E(X - EX)^2 = \]
• \[ (2 - 4.96)^2 × 0.01 + (4 - 4.96)^2 × 0.24 + (6 - 4.96)^2 × 0.5 + (8 - 4.96)^2 × 0.24 + (10 - 4.96)^2 × 0.01 \]
• \[ DX = (-2.96)^2 × 0.01 + (-0.96)^2 × 0.24 + (1.04)^2 × 0.5 + (3.04)^2 × 0.24 + (5.04)^2 × 0.01 \]
• \[ DX = 8.7616 × 0.01 + 0.9216 × 0.24 + 1.0816 × 0.5 + 9.2416 × 0.24 + 25.4016 × 0.01 \]
• \[ DX = 0.087616 + 0.221184 + 0.5408 + 2.217984 + 0.254016 = 3.3216 \]
• Находим стандартное отклонение σ_X:
• \[ σ_X = \sqrt{DX} = \sqrt{3.3216} ≈ 1.8225 \]

Ответ (а): Дисперсия DX = 3.3216, Стандартное отклонение σ_X ≈ 1.823

б) Для случайной величины Y

Данное распределение симметрично относительно значения -1.

1. Находим математическое ожидание EY:
• \[ EY = (-5 × 0.2) + (-3 × 0.3) + (-1 × 0.3) + (1 × 0.2) \]
• \[ EY = -1.0 + (-0.9) + (-0.3) + 0.2 = -2.0 \]
• Находим дисперсию DY:
• \[ DY = E(Y - EY)^2 = \]
• \[ (-5 - (-2))^2 × 0.2 + (-3 - (-2))^2 × 0.3 + (-1 - (-2))^2 × 0.3 + (1 - (-2))^2 × 0.2 \]
• \[ DY = (-3)^2 × 0.2 + (-1)^2 × 0.3 + (1)^2 × 0.3 + (3)^2 × 0.2 \]
• \[ DY = 9 × 0.2 + 1 × 0.3 + 1 × 0.3 + 9 × 0.2 \]
• \[ DY = 1.8 + 0.3 + 0.3 + 1.8 = 4.2 \]
• Находим стандартное отклонение σ_Y:
• \[ σ_Y = \sqrt{DY} = \sqrt{4.2} ≈ 2.04939 \]

Ответ (б): Дисперсия DY = 4.2, Стандартное отклонение σ_Y ≈ 2.049