39. Две стороны треугольника равны 3 см и 4 см, а синус угла между ними равен \(\frac{\sqrt{35}}{6}\). Найдите третью сторону треугольника. Сколько решений имеет задача?

Обозначим угол между сторонами 3 см и 4 см через \(\alpha\), а третью сторону — через \(c\).

По условию:

\[\sin\alpha=\frac{\sqrt{35}}{6}.\]

Найдём косинус этого угла:

\[\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\frac{35}{36}=\frac{1}{36},\]

поэтому

\[\cos\alpha=\frac{1}{6}\quad\text{или}\quad\cos\alpha=-\frac{1}{6}.\]

По теореме косинусов:

\[c^2=3^2+4^2-2\cdot3\cdot4\cos\alpha=25-24\cos\alpha.\]

1) Если \(\cos\alpha=\frac{1}{6}\), то

\[c^2=25-24\cdot\frac{1}{6}=25-4=21,\quad c=\sqrt{21}\text{ см}.\]

2) Если \(\cos\alpha=-\frac{1}{6}\), то

\[c^2=25-24\cdot\left(-\frac{1}{6}\right)=25+4=29,\quad c=\sqrt{29}\text{ см}.\]

Ответ: \(\sqrt{21}\) см или \(\sqrt{29}\) см; задача имеет 2 решения.