39. Из полного набора костей домино берутся наугад две кости. Определить вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой.

Решение:

В полном наборе домино 28 костей. Каждая кость имеет два значения от 0 до 6. Для того чтобы вторую кость можно было приставить к первой, у них должно быть одинаковое значение на одной из сторон.

Пусть первая кость — это \(a:b\). Вторая кость должна иметь вид \(b:c\) или \(a:c\).

Рассмотрим кости, которые можно приставить к первой:

• Если первая кость — дубль (например, \(a:a\)), то к ней можно приставить 6 костей (костяшки с \(a:0\), \(a:1\), ..., \(a:6\)).
• Если первая кость — не дубль (например, \(a:b\) при \(a
  e b\)), то к ней можно приставить 7 костей (костяшки с \(b:0\), \(b:1\), ..., \(b:6\), кроме \(b:a\), которая уже есть, и \(b:b\)).

Однако, задача сформулирована иначе: берутся наугад ДВЕ кости. То есть, мы выбираем две кости из 28. Общее число способов выбрать 2 кости из 28 равно \( C_{28}^2 = \frac{28 \times 27}{2} = 14 \times 27 = 378 \).

Для того чтобы вторую кость можно было приставить к первой, у них должно быть общее значение. Рассмотрим варианты:

1. Обе кости — дубли: \( C_7^2 = \frac{7 \times 6}{2} = 21 \) способа. В этом случае у них ОБЯЗАТЕЛЬНО есть общее значение.
2. Одна кость — дубль, другая — нет: \( 7 \times 21 = 147 \) способов. Например, \( (3:3) \) и \( (2:5) \). Здесь нет общего значения.
3. Обе кости — не дубли: \( C_{21}^2 = \frac{21 \times 20}{2} = 210 \) способов.

Необходимо посчитать количество пар костей, у которых есть хотя бы одно общее значение.

Проще посчитать количество пар, у которых нет общего значения, и вычесть из общего числа пар.

Количество пар, у которых нет общего значения:

1. Выбираем одну кость \(a:b\) (не дубль). Таких 21. \(C_{21}^1=21\)

2. Выбираем вторую кость \(c:d\) так, чтобы \(c
e a, c
e b, d
e a, d
e b\). Это значит, что вторая кость не должна содержать ни \(a\), ни \(b\).

Пример: кость \(1:2\). Нельзя взять кости, содержащие 1 или 2. Это:

• Дубли: \(1:1\), \(2:2\).
• Не дубли: \(1:0\), \(1:3\), ..., \(1:6\) (6 шт). \(2:0\), \(2:3\), ..., \(2:6\) (6 шт).

Всего костей, содержащих 1 или 2: \(1:1, 2:2, 1:0, 1:3, 1:4, 1:5, 1:6, 2:0, 2:3, 2:4, 2:5, 2:6\). Всего 12 костей.

Значит, остается \(28 - 12 = 16\) костей, с которыми первая кость \(1:2\) не будет иметь общих значений.

Количество пар с общим значением:

Рассмотрим все возможные кости. Для каждой кости \(a:b\), сколько костей можно приставить?

Если кость \(a:a\) (7 шт), то к ней можно приставить 6 костей (с \(a\) и другим числом) + 6 костей (с другим числом и другим числом). Всего 6 костей с \(a\).

Если кость \(a:b\) (21 шт), то к ней можно приставить 7 костей (с \(b\) и другим числом) + 7 костей (с \(a\) и другим числом). Всего 7 костей с \(b\) и 7 костей с \(a\).

Переформулируем задачу: из 28 костей наугад выбирают 2. Какова вероятность, что они имеют общее число?

Общее число способов выбрать 2 кости из 28: \( C_{28}^2 = 378 \).

Число способов выбрать 2 кости с общим значением:

• Сначала выбираем число (от 0 до 6) — 7 вариантов.
• Затем выбираем две кости, содержащие это число.
• Если число \(k\), то кости могут быть \(k:k\) (1 шт) и \(k:m\) (где \(m
  e k\)). Таких костей 6 (\(k:0, k:1, ..., k:6\), кроме \(k:k\)).
• Итого, для одного числа \(k\) есть \(1 + 6 = 7\) костей, содержащих \(k\).
• Выбираем 2 кости из этих 7: \( C_7^2 = \frac{7 \times 6}{2} = 21 \).
• Так как число может быть любым от 0 до 6 (7 вариантов), то общее число пар с общим значением равно \( 7 \times C_7^2 = 7 \times 21 = 147 \).

Однако, это подсчет дублей.

Правильный подсчет:

1. Выбираем первую кость. Любую из 28.

2. Вторая кость должна иметь число, совпадающее с одним из чисел первой кости.

Если первая кость — дубль \(a:a\) (7 шт): К ней можно приставить 6 костей (где \(a\) с другим числом, например \(a:0, a:1, \text{кроме } a:a\)).

Если первая кость — не дубль \(a:b\) (21 шт): К ней можно приставить 7 костей (где \(b\) с другим числом, например \(b:0, b:1, \text{кроме } b:b\)) И 7 костей (где \(a\) с другим числом, например \(a:0, a:1, \text{кроме } a:a\)). Всего 7 + 7 = 14 костей, содержащих \(a\) или \(b\).

Давайте посчитаем более простым методом:

Всего костей 28.

Количество пар костей: \( C_{28}^2 = 378 \).

Количество пар костей, у которых есть общее число:

1. Выберем число (от 0 до 6) — 7 способов.

2. Выберем две кости, содержащие это число. Например, число 3. Кости: \(3:3\), \(3:0\), \(3:1\), \(3:2\), \(3:4\), \(3:5\), \(3:6\). Всего 7 костей.

3. Выберем 2 кости из этих 7: \( C_7^2 = 21 \). Это количество пар, которые содержат число 3.

4. Так как мы можем выбрать число от 0 до 6 (7 вариантов), то общее количество пар, которые содержат одно и то же число, равно \( 7 \times C_7^2 = 7 \times 21 = 147 \). Это количество пар, где обе кости содержат число 3 (или 0, или 1, ...).

Но это приведет к двойному счету.

Верный подход:

Общее число пар костей = 378.

Количество пар костей, которые НЕЛЬЗЯ приставить (нет общих чисел):

1. Выбрать первую кость \(a:b\) (не дубль) — 21 способ.

2. Выбрать вторую кость, которая НЕ содержит ни \(a\), ни \(b\).

Всего костей: 28.

Кости, содержащие \(a\): 7 (дубль \(a:a\) + 6 костей \(a:x\) где \(x
e a\)).

Кости, содержащие \(b\): 7 (дубль \(b:b\) + 6 костей \(b:y\) где \(y
e b\)).

Если \(a
e b\), то дубль \(a:a\) и \(b:b\) различны. Кости, содержащие \(a\) или \(b\): \(7 + 7 = 14\).

Костей, НЕ содержащих \(a\) и \(b\) = \(28 - 14 = 14\).

Количество пар, где первая кость не дубль, а вторая не имеет с ней общих чисел: \( 21 \times 14 = 294 \).

Но это пара \((a:b), (c:d)\). Надо учесть, что порядок не важен.

Проще:

Сколько пар костей имеют общее значение?

1. Выбираем общее число (например, 3). 7 вариантов (0-6).

2. Выбираем 2 кости, содержащие это число. Из 28 костей, 7 содержат число 3 (\(3:3, 3:0, 3:1, 3:2, 3:4, 3:5, 3:6\)).

3. Число способов выбрать 2 такие кости: \( C_7^2 = 21 \).

4. Общее число пар, содержащих 3: 21. Общее число пар, содержащих 0: 21, и т.д.

5. Суммируем: \(7 \times 21 = 147\). НО! Пары типа \((3:3), (3:0)\) посчитаны один раз. Пары типа \((3:0), (3:1)\) посчитаны один раз. Пары типа \((3:3), (0:0)\) не имеют общего числа 3.

Давайте посчитаем благоприятные исходы (есть общее число):

1. Обе кости — дубли: \( C_7^2 = 21 \) пар. Они всегда имеют общее число.

2. Одна кость — дубль \(a:a\) (7 шт), другая — не дубль \(b:c\). Чтобы было общее число, \(b\) или \(c\) должно быть равно \(a\).

- Выбираем дубль \(a:a\) (7 способов).

- Выбираем не дубль \(b:c\) так, чтобы \(b=a\) или \(c=a\). Кости типа \(a:x\) (где \(x
e a\)). Их 6 штук. Например, \(3:0, 3:1, 3:2, 3:4, 3:5, 3:6\).

- Количество пар (дубль, не дубль с общим числом): \(7 \times 6 = 42\).

3. Обе кости — не дубли \(a:b\) и \(c:d\). Чтобы было общее число, например, \(b=c\).

- Выбираем первую кость \(a:b\) (21 шт).

- Выбираем вторую кость \(b:d\) (где \(d
e b\)).

- Сколько костей вида \(x:y\) где \(x
e y\)? 21.

- Сколько костей содержат число \(b\)? 7 (дубль \(b:b\) + 6 костей \(b:x\)).

- Если первая кость \(a:b\), то вторая кость должна содержать \(a\) или \(b\).

- Более простой подсчет:

- Общее число пар костей: \( C_{28}^2 = 378 \).

- Количество пар костей, у которых НЕТ общего числа:

- Выберем 2 числа \(a, b\) из \({0, 1, ..., 6}\). \(C_7^2 = 21\) способов.

- Для каждой пары чисел \((a, b)\) (где \(a
e b\)) есть 4 кости, содержащие только эти числа: \(a:a, b:b, a:b, b:a\). Но \(a:b\) и \(b:a\) — это одна кость.

- Кости, содержащие только \(a\) или \(b\): \(a:a, b:b, a:b\). Всего 3 кости.

- Мы хотим выбрать 2 кости, НЕ имеющие общих чисел.

- Простое решение:

- Всего костей 28.

- Выбираем первую кость. Всего 28 вариантов.

- Вторая кость должна иметь число, совпадающее с одним из чисел первой кости.

- Если первая кость — дубль (7 шт), например \(3:3\). Есть 6 костей, которые можно приставить (с числом 3 и другим: \(3:0, 3:1, 3:2, 3:4, 3:5, 3:6\)).

- Если первая кость — не дубль (21 шт), например \(3:5\). Есть 7 костей с числом 3 (\(3:3, 3:0, 3:1, 3:2, 3:4, 3:5, 3:6\)) и 7 костей с числом 5 (\(5:5, 5:0, 5:1, 5:2, 5:3, 5:4, 5:6\)).

- Кости, имеющие число 3: \(3:3, 3:0, 3:1, 3:2, 3:4, 3:5, 3:6\).

- Кости, имеющие число 5: \(5:5, 5:0, 5:1, 5:2, 5:3, 5:4, 5:6\).

- Нас интересуют кости, содержащие 3 ИЛИ 5.

- \(7 + 7 = 14\). Но кость \(3:5\) есть в обоих списках.

- Общее число костей, содержащих 3 или 5: \(7 + 7 - 1 = 13\).

- Кость \(3:5\) — первая. Кости, которые можно приставить: \(3:0, 3:1, 3:2, 3:3, 3:4, 3:6\) (6 штук) и \(5:0, 5:1, 5:2, 5:4, 5:6\) (5 штук). Всего \(6 + 5 = 11\).

- Вероятность, что вторая кость приставится к первой:

- Если первая кость — дубль (7/28): Осталось 27 костей. К дублю \(a:a\) приставимы 6 костей (\(a:x\), \(x
e a\)). Вероятность = \( \frac{6}{27} \).

- Если первая кость — не дубль (21/28): Осталось 27 костей. К кости \(a:b\) приставимы кости, содержащие \(a\) или \(b\). Костей с \(a\): 7 (включая \(a:a\)). Костей с \(b\): 7 (включая \(b:b\)). Кости \(a:a\) и \(b:b\) могут быть разными. Кость \(a:b\) — первая. Кости, содержащие \(a\): \(a:a, a:0, a:1, a:2, a:3, a:4, a:5, a:6\) (кроме \(a:b\)). Их 7. Кости, содержащие \(b\): \(b:b, b:0, b:1, b:2, b:3, b:4, b:5, b:6\) (кроме \(a:b\)). Их 7.

- Правильное рассуждение:

- Всего 28 костей.

- Выбираем первую кость. Любую.

- Остается 27 костей.

- Какое количество костей из оставшихся 27 имеют хотя бы одно общее число с первой костью?

- Случай 1: Первая кость — дубль (7 шт), например, 3:3.

- Кости, содержащие 3: 3:0, 3:1, 3:2, 3:4, 3:5, 3:6. Всего 6 костей.

- Случай 2: Первая кость — не дубль (21 шт), например, 3:5.

- Кости, содержащие 3: 3:0, 3:1, 3:2, 3:3, 3:4, 3:6. Всего 6 костей (исключая 3:5).

- Кости, содержащие 5: 5:0, 5:1, 5:2, 5:4, 5:6. Всего 5 костей (исключая 3:5 и 5:5).

- Кости, содержащие 3 или 5: 6 + 5 = 11 костей.

- Общее число благоприятных исходов:

- \( P(\text{приставить}) = P(\text{дубль}) \times P(\text{приставить} | \text{дубль}) + P(\text{не дубль}) \times P(\text{приставить} | \text{не дубль}) \)

- \( P(\text{дубль}) = \frac{7}{28} = \frac{1}{4} \)

- \( P(\text{не дубль}) = \frac{21}{28} = \frac{3}{4} \)

- \( P(\text{приставить} | \text{дубль}) = \frac{6}{27} \)

- \( P(\text{приставить} | \text{не дубль}) = \frac{11}{27} \)

- \( P(\text{приставить}) = \frac{1}{4} \times \frac{6}{27} + \frac{3}{4} \times \frac{11}{27} = \frac{6}{108} + \frac{33}{108} = \frac{39}{108} = \frac{13}{36} \).

Альтернативный подсчет:

Всего пар костей: \( C_{28}^2 = 378 \).

Количество пар костей, у которых есть общее число:

1. Выбираем число (от 0 до 6) - 7 способов.

2. Выбираем 2 кости из 7 костей, содержащих это число. \( C_7^2 = 21 \).

- Это приведет к двойному счету пар, где обе кости — дубли (например, (3:3) и (5:5)).

- Рассмотрим такой подход:

- Пары, где одна кость — дубль \(a:a\), другая — \(a:b\), \(b
e a\).

- Выбираем дубль \(a:a\) (7 способов).

- Выбираем кость \(a:b\) (6 способов).

- Всего таких пар: \(7 \times 6 = 42\).

- Пары, где обе кости — не дубли \(a:b\) и \(c:d\) с общим числом (например, \(b=c\)).

- Выбираем общее число \(b\) (7 способов).

- Выбираем \(a\) (6 способов).

- Выбираем \(d\) (5 способов).

- Кости \(a:b\) и \(b:d\).

- Чтобы не было повторов, выберем 3 разных числа \(a, b, c\). Пара \(a:b\) и \(b:c\).

- Выбор 3 чисел из 7: \( C_7^3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \).

- Для каждой тройки чисел (например, 1, 2, 3) можно составить 3 пары костей с общим числом: \(1:2, 2:3\); \(1:3, 3:2\); \(2:1, 1:3\).

- \(35 \times 3 = 105\) таких пар.

- Пары, где обе кости — дубли: \( C_7^2 = 21 \).

- Всего пар с общим числом: \(42 + 105 + 21 = 168 \).

- Вероятность = \( \frac{168}{378} = \frac{84}{189} = \frac{28}{63} = \frac{4}{9} \).

Перепроверка:

Общее число пар = 378.

Неблагоприятные пары (нет общего числа):

1. Выбираем 2 числа \(a, b\) из 7: \( C_7^2 = 21 \).

2. Для каждой пары чисел \((a, b)\), составляем кости, содержащие только эти числа. Это \(a:a, b:b, a:b\). 3 кости.

3. Выбираем 2 кости из этих 3: \( C_3^2 = 3 \).

- Пары: \((a:a, b:b)\), \((a:a, a:b)\), \((b:b, a:b)\).

- \((a:a, b:b)\) - нет общего числа.

- \((a:a, a:b)\) - общее число \(a\).

- \((b:b, a:b)\) - общее число \(b\).

- Значит, для каждой пары чисел \((a, b)\) есть 1 пара без общего числа: \(a:a\) и \(b:b\).

- Количество таких пар: \( C_7^2 \times 1 = 21 \).

4. Еще одна возможность — выбрать 2 кости \(a:b\) и \(c:d\) где \({a, b} \notin \{c, d\} \).

- Выберем 4 разных числа \(a, b, c, d\). \( C_7^4 = 35 \).

- Для них составляем кости: \(a:b, c:d\). Это 1 пара.

- Можно составить \(a:c, b:d\) или \(a:d, b:c\).

- Всего пар с 4 разными числами: \( 35 \times 3 = 105 \).

- Простой путь: посчитать количество пар, которые НЕЛЬЗЯ приставить.

- Выбираем 2 числа \(a, b\) из 7: \( C_7^2 = 21 \) пар чисел.

- Для каждой пары чисел \((a, b)\) можно составить одну пару костей, где числа взяты из этой пары, и у них нет общих чисел. Это \(a:a\) и \(b:b\).

- Количество таких пар: \( C_7^2 \times 1 = 21 \).

- Еще один тип пар без общего числа: \(a:b\) и \(c:d\) где \({a, b}
e \{c, d\} \).

- Это намного сложнее.

- Вернемся к первому рассуждению:

- \( P(\text{приставить}) = \frac{13}{36} \).

- Проверим себя: \( P(\text{не приставить}) = 1 - \frac{13}{36} = \frac{23}{36} \).

- Убедимся, что \( \frac{13}{36} \) - это верно.

- Всего костей: 28.

- Выбираем первую кость. 28 вариантов.

- Остается 27.

- Сколько из них имеют общее число?

- Если первая кость 3:3 (7 шт). Оставшиеся 6 костей с 3. Вероятность \( \frac{6}{27} \).

- Если первая кость 3:5 (21 шт). Оставшиеся 11 костей с 3 или 5. Вероятность \( \frac{11}{27} \).

- \( \frac{7}{28} \times \frac{6}{27} + \frac{21}{28} \times \frac{11}{27} = \frac{1}{4} \times \frac{6}{27} + \frac{3}{4} \times \frac{11}{27} = \frac{6}{108} + \frac{33}{108} = \frac{39}{108} = \frac{13}{36} \).

- Расчет верен.

Ответ: Вероятность равна
13/36.