39. Представьте выражение в виде многочлена: a) a(a + 9b)²; б) 6x(x² + 5x)²; в) (а + 2)(а – 1)²; г) (x - 4)(x + 2)².

Решение:

Для представления выражений в виде многочлена раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

а) \( a(a + 9b)^2 \)

1. Возведем выражение в скобках в квадрат: \( (a + 9b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 9b + (9b)^2 = a^2 + 18ab + 81b^2 \).
2. Умножим полученное выражение на \( a \): \( a(a^2 + 18ab + 81b^2) = a^3 + 18a^2b + 81ab^2 \).

б) \( 6x(x^2 + 5x)^2 \)

1. Возведем выражение в скобках в квадрат: \( (x^2 + 5x)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 5x + (5x)^2 = x^4 + 10x^3 + 25x^2 \).
2. Умножим полученное выражение на \( 6x \): \( 6x(x^4 + 10x^3 + 25x^2) = 6x^5 + 60x^4 + 150x^3 \).

в) \( (a + 2)(a - 1)^2 \)

1. Возведем выражение в скобках в квадрат: \( (a - 1)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 = a^2 - 2a + 1 \).
2. Умножим \( (a + 2) \) на \( (a^2 - 2a + 1) \): \( (a + 2)(a^2 - 2a + 1) = a(a^2 - 2a + 1) + 2(a^2 - 2a + 1) = (a^3 - 2a^2 + a) + (2a^2 - 4a + 2) = a^3 - 2a^2 + a + 2a^2 - 4a + 2 = a^3 - 3a + 2 \).

г) \( (x - 4)(x + 2)^2 \)

1. Возведем выражение в скобках в квадрат: \( (x + 2)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4 \).
2. Умножим \( (x - 4) \) на \( (x^2 + 4x + 4) \): \( (x - 4)(x^2 + 4x + 4) = x(x^2 + 4x + 4) - 4(x^2 + 4x + 4) = (x^3 + 4x^2 + 4x) - (4x^2 + 16x + 16) = x^3 + 4x^2 + 4x - 4x^2 - 16x - 16 = x^3 - 12x - 16 \).

Ответ:

а) \( a^3 + 18a^2b + 81ab^2 \)

б) \( 6x^5 + 60x^4 + 150x^3 \)

в) \( a^3 - 3a + 2 \)

г) \( x^3 - 12x - 16 \)