39. Уравнение затухающего колебания материальной точки x = 8 e^{-0,4t} cos\(\frac{\pi}{4} t\) (м). Найти: логарифмический декремент затухания, амплитуду колебания, смещение точки через t = 1 с после начала колебания.

Решение:

Дано уравнение затухающего колебания материальной точки: \( x(t) = A_0 e^{-\beta t} \cos(\omega t + \varphi) \), где \( A_0 \) — начальная амплитуда, \( \beta \) — коэффициент затухания, \( \omega \) — циклическая частота, \( \varphi \) — начальная фаза.

В данном уравнении \( x = 8 e^{-0,4t} \cos(\frac{\pi}{4} t) \) (м):

1. Логарифмический декремент затухания (\( Δ \)):

Логарифмический декремент затухания связан с коэффициентом затухания \( \beta \) формулой \( Δ = 2 \beta T \), где \( T \) — период колебаний.

Период \( T = \frac{2 \pi}{\omega} \).

В данном уравнении \( \omega = \frac{\pi}{4} \) с^-1.

Следовательно, период \( T = \frac{2 \pi}{\frac{\pi}{4}} = 2 \pi \cdot \frac{4}{\pi} = 8 \) с.

Коэффициент затухания \( \beta = 0,4 \) с^-1.

Тогда логарифмический декремент затухания: \( Δ = 2 \cdot 0,4 \cdot 8 = 6,4 \).

2. Амплитуда колебания (\( A(t) \)):

Амплитуда затухающих колебаний изменяется со временем по закону \( A(t) = A_0 e^{-\beta t} \). В данном уравнении \( A_0 = 8 \) м.

3. Смещение точки через t = 1 с после начала колебания:

Подставим \( t = 1 \) с в уравнение колебаний:

\( x(1) = 8 e^{-0,4 \cdot 1} \cos(\frac{\pi}{4} \cdot 1) \)

\( x(1) = 8 e^{-0,4} \cos(\frac{\pi}{4}) \)

Значение \( e^{-0,4} \approx 0,6703 \).

Значение \( \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,7071 \).

\( x(1) \approx 8 \cdot 0,6703 \cdot 0,7071 \approx 3,799 \) м.

Ответ: Логарифмический декремент затухания равен 6,4. Амплитуда колебания в начальный момент времени равна 8 м. Смещение точки через t = 1 с равно приблизительно 3,80 м.