396 Докажите, что при любом значении х дисперсия случайной величины, имеющей распределение

Решение:

Случайная величина \( X \) имеет следующее распределение:

\( X \begin{pmatrix} 0 & 1 & x \\ 0,2 & 0,6 & 0,2 \end{pmatrix} \)

Дисперсия \( D(X) \) вычисляется по формуле \( D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \).

1. Вычислим математическое ожидание \( M(X) \):
2. \( M(X) = 0 0,2 + 1 0,6 + x 0,2 = 0 + 0,6 + 0,2x = 0,6 + 0,2x \).
3. Вычислим математическое ожидание квадрата \( M(X^2) \):
4. \( M(X^2) = 0^2 0,2 + 1^2 0,6 + x^2 0,2 = 0 0,2 + 1 0,6 + 0,2x^2 = 0 + 0,6 + 0,2x^2 = 0,6 + 0,2x^2 \).
5. Вычислим дисперсию \( D(X) \):
6. \( D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = (0,6 + 0,2x^2) - (0,6 + 0,2x)^2 \)
7. \( D(X) = 0,6 + 0,2x^2 - (0,36 + 2 0,6 0,2x + 0,04x^2) \)
8. \( D(X) = 0,6 + 0,2x^2 - (0,36 + 0,24x + 0,04x^2) \)
9. \( D(X) = 0,6 + 0,2x^2 - 0,36 - 0,24x - 0,04x^2 \)
10. \( D(X) = 0,16x^2 - 0,24x + 0,24 \).
11. Это квадратичная функция \( f(x) = 0,16x^2 - 0,24x + 0,24 \), ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при \( x^2 \) положителен).
12. Минимальное значение дисперсии достигается в вершине параболы. Найдем \( x \)-координату вершины: \( x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-0,24}{2 0,16} = \frac{0,24}{0,32} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4} = 0,75 \).
13. Подставим \( x = 0,75 \) в формулу дисперсии, чтобы найти минимальное значение:
14. \( D_{min} = 0,16 (0,75)^2 - 0,24 0,75 + 0,24 \)
15. \( D_{min} = 0,16 0,5625 - 0,18 + 0,24 \)
16. \( D_{min} = 0,09 - 0,18 + 0,24 = 0,15 \).

Так как минимальное значение дисперсии равно 0,15, то при любом значении \( x \) дисперсия случайной величины не меньше чем 0,15.

Доказано.