396. Две окружности имеют общую точку M и общую точку N. Прямая AB касается одной окружности в точке A, а другой — в точке B. Докажите, что точки M и N лежат на окружности с диаметром AB.

Пусть прямая AB — общая касательная. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому AM ⟂ AB и BM ⟂ AB для окружности, проходящей через A и M, и окружности, проходящей через B и M. Следовательно, ∠AMB = 90°.

По обратной теореме Фалеса точка M лежит на окружности с диаметром AB. Аналогично AM ⟂ AB и BN ⟂ AB, откуда ∠ANB = 90°, значит, N также лежит на этой окружности.

Доказано.