Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
№ 3 OK = 6 cm, angle MON = 120°. Find the radius of the circle.
Ответ:
Краткая запись:
- OK = 6 см
- Угол MON = 120°
- Найти: радиус окружности (r) — ?
Краткое пояснение: В данной задаче точка K находится вне окружности, и отрезок OK является касательной к окружности в точке N. Следовательно, радиус ON перпендикулярен касательной OK. Треугольник MON является равнобедренным, так как OM и ON — радиусы окружности.
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Анализируем условие. Отрезок OK касается окружности в точке N, значит, радиус ON перпендикулярен касательной OK. Угол O N K = 90°.
- Шаг 2: Рассматриваем треугольник MON. OM = ON (радиусы окружности), поэтому треугольник MON — равнобедренный. Угол MON = 120°.
- Шаг 3: Находим углы OMN и ONM в треугольнике MON. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны: \( (180° - 120°) / 2 = 60° / 2 = 30° \).
- Шаг 4: Рассматриваем прямоугольный треугольник ONK. У нас есть угол ONM = 30°. Угол ONK = 90°. Угол MON = 120°, значит, угол NOK = 360° - 120° - 90° - 90° = 60° (это неверно, т.к. OK - касательная, а не часть треугольника OKM).
- Шаг 4 (коррекция): Рассмотрим прямоугольный треугольник ONK. Угол OKN = 90° - угол O N K (неверно).
- Шаг 4 (коррекция 2): Рассмотрим прямоугольный треугольник ONK. Угол OKN — не известен. Угол NOK = 180° - угол MON = 180° - 120° = 60° (неверно, так как точки M, O, K не лежат на одной прямой).
- Шаг 4 (коррекция 3): В треугольнике MON, OM=ON=r. Угол MON = 120°. По теореме косинусов для треугольника MON: \( MN^2 = OM^2 + ON^2 - 2 OM ON cos(120°) \). \( MN^2 = r^2 + r^2 - 2r^2 (-1/2) = 2r^2 + r^2 = 3r^2 \). \( MN = r√3 \).
- Шаг 5: В прямоугольном треугольнике ONK (угол ONK = 90°), OK = 6 см. Используем теорему Пифагора: \( OK^2 = ON^2 + NK^2 \). \( 6^2 = r^2 + NK^2 \).
- Шаг 6: В равнобедренном треугольнике MON, проведем высоту OM к стороне NK, она будет являться биссектрисой и медианой. Угол NOK = 120°/2 = 60°.
- Шаг 7: В прямоугольном треугольнике ONK, \( cos(NOK) = ON / OK \). \( cos(60°) = r / 6 \). \( 1/2 = r / 6 \). \( r = 6 1/2 = 3 \) см.
Ответ: 3 см
