3x + 4y + 2z = 5 5x - 6y - 4z = -3 -4x + 5y + 3z = 1

Решение системы линейных уравнений

Для решения данной системы уравнений будем использовать метод Гаусса (метод последовательного исключения переменных).

Шаг 1: Запись системы в матричном виде

Система уравнений:

• \[ 3x + 4y + 2z = 5 \]
• \[ 5x - 6y - 4z = -3 \]
• \[ -4x + 5y + 3z = 1 \]

Расширенная матрица системы:

[ 3  4  2 | -3 ]

[ 5 -6 -4 | -3 ]

[-4  5  3 |  1 ]

Шаг 2: Приведение матрицы к ступенчатому виду

Цель: получить нули под главным диагональным элементом.

1. Преобразуем первую строку: Поменяем местами строки 1 и 2, чтобы получить меньшее число в первой позиции (или домножим на дробь, но это усложнит вычисления).

[ 5 -6 -4 | -3 ]

[ 3  4  2 |  5 ]

[-4  5  3 |  1 ]

1. Обнулим элементы в первом столбце под главной диагональю:
• Строка 2 = Строка 2 - (3/5) * Строка 1
• Строка 3 = Строка 3 + (4/5) * Строка 1

Промежуточный расчет для Строки 2:

Новая Строка 2 = [ 3 - (3/5)*5 , 4 - (3/5)*(-6) , 2 - (3/5)*(-4) | 5 - (3/5)*(-3) ]

Новая Строка 2 = [ 3 - 3 , 4 + 18/5 , 2 + 12/5 | 5 + 9/5 ]

Новая Строка 2 = [ 0 , 20/5 + 18/5 , 10/5 + 12/5 | 25/5 + 9/5 ]

Новая Строка 2 = [ 0 , 38/5 , 22/5 | 34/5 ]

Промежуточный расчет для Строки 3:

Новая Строка 3 = [ -4 + (4/5)*5 , 5 + (4/5)*(-6) , 3 + (4/5)*(-4) | 1 + (4/5)*(-3) ]

Новая Строка 3 = [ -4 + 4 , 5 - 24/5 , 3 - 16/5 | 1 - 12/5 ]

Новая Строка 3 = [ 0 , 25/5 - 24/5 , 15/5 - 16/5 | 5/5 - 12/5 ]

Новая Строка 3 = [ 0 , 1/5 , -1/5 | -7/5 ]

Новая матрица:

[ 5  -6  -4  |  -3  ]

[ 0  38/5  22/5 |  34/5 ]

[ 0   1/5  -1/5 |  -7/5 ]

1. Обнулим элемент во втором столбце под главной диагональю:
• Строка 3 = Строка 3 - (1/5) / (38/5) * Строка 2
• Строка 3 = Строка 3 - (1/38) * Строка 2

Промежуточный расчет для Строки 3:

Новая Строка 3 = [ 0 - (1/38)*0 , 1/5 - (1/38)*(38/5) , -1/5 - (1/38)*(22/5) | -7/5 - (1/38)*(34/5) ]

Новая Строка 3 = [ 0 , 1/5 - 1/5 , -1/5 - 22/(38*5) | -7/5 - 34/(38*5) ]

Новая Строка 3 = [ 0 , 0 , -1/5 - 11/(19*5) | -7/5 - 17/(19*5) ]

Новая Строка 3 = [ 0 , 0 , -19/(19*5) - 11/(19*5) | -133/(19*5) - 17/(19*5) ]

Новая Строка 3 = [ 0 , 0 , -30/(19*5) | -150/(19*5) ]

Новая Строка 3 = [ 0 , 0 , -6/19 | -30/19 ]

Окончательная ступенчатая матрица:

[ 5  -6  -4  |  -3    ]

[ 0  38/5  22/5 |  34/5  ]

[ 0   0   -6/19| -30/19 ]

Шаг 3: Обратный ход (нахождение переменных)

Теперь переведем матрицу обратно в систему уравнений:

• \[ -\frac{6}{19}z = -\frac{30}{19} \]
• \[ \frac{38}{5}y + \frac{22}{5}z = \frac{34}{5} \]
• \[ 5x - 6y - 4z = -3 \]

Находим $$z$$:

• \[ z = \frac{-30/19}{-6/19} = \frac{30}{6} = 5 \]

Находим $$y$$:

• \[ \frac{38}{5}y = \frac{34}{5} - \frac{22}{5}z \]
• \[ \frac{38}{5}y = \frac{34}{5} - \frac{22}{5}(5) \]
• \[ \frac{38}{5}y = \frac{34}{5} - \frac{110}{5} \]
• \[ \frac{38}{5}y = -\frac{76}{5} \]
• \[ y = \frac{-76/5}{38/5} = -\frac{76}{38} = -2 \]

Находим $$x$$:

• \[ 5x = -3 + 6y + 4z \]
• \[ 5x = -3 + 6(-2) + 4(5) \]
• \[ 5x = -3 - 12 + 20 \]
• \[ 5x = 5 \]
• \[ x = 1 \]

Шаг 4: Проверка решения

Подставим найденные значения в исходные уравнения:

• Уравнение 1: $$3(1) + 4(-2) + 2(5) = 3 - 8 + 10 = 5$$ (Верно)
• Уравнение 2: $$5(1) - 6(-2) - 4(5) = 5 + 12 - 20 = -3$$ (Верно)
• Уравнение 3: $$-4(1) + 5(-2) + 3(5) = -4 - 10 + 15 = 1$$ (Верно)

Ответ: x = 1, y = -2, z = 5