4.1.143. Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2-5x+6)(x^2+x-2)}{x^2-4x+3}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4.1.143. Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2-5x+6)(x^2+x-2)}{x^2-4x+3}$ и определите, при каких значениях $m$…$ Фото задания

4.1.143. Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2-5x+6)(x^2+x-2)}{x^2-4x+3}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Accepted Answer

Разложим многочлены на множители:

$y=\dfrac{(x-2)(x-3)(x+2)(x-1)}{(x-1)(x-3)}$.

При $x\ne1$ и $x\ne3$ сокращаем общие множители. Получаем $y=x^2-4$, где область определения дополнительно исключает $x=1$ и $x=3$.

График — парабола $y=x^2-4$ с выколотыми точками $(1;-3)$ и $(3;5)$.

Число пересечений горизонтали $y=m$ с полной параболой определяется её вершиной $(0;-4)$: при $m=-4$ пересечение одно, выше вершины обычно два, ниже — ни одного.

При $m=-3$ одно из двух пересечений пришлось бы на выколотую точку $(1;-3)$, поэтому остаётся одно. При $m=5$ выколота точка $(3;5)$, и также остаётся одно пересечение.

Ответ: $m=-4$, $m=-3$ или $m=5$.

4.1.143. Постройте график функции \(y=\dfrac{(x^2-5x+6)(x^2+x-2)}{x^2-4x+3}\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: